平面几何里“翻折”是图形变换的其中之一(轴对称图形)。如果能适当利用,则在求解相应问题时会显得既巧妙又简捷,现在就一道“角格点”的经典问题,通过从三个不同的角度将图形翻折,一起来说说其的求解思路:
【例一】(如图)在△ABC中,∠ABC=20º,∠ACB=50º,其内一点E,连EA、EB、EC,且:∠EAC=40º,∠ECB=30º,求∠EBA的度数
【分析】
(1)已知得:AE⊥BC,设垂足为D(如图),∴∠BAD=70º,∠CED=60º,∠ECA=20º
(2)将△ABC沿边BC翻折得△BGC和△BFC,A.E.D.F.G共线,△CEF为正三角形,BE=BF,∠EBC=∠FBC,∠BGE=70º,∠AGC=40º,∠ECG=80º
(3)再将△BEG沿BG边翻折得到△BGH,∴BE=BH,GE=GH,∠BGH=∠BGE=70º,得:∠HGC=180º,即:H.G.C三点共线,连EH得:∠HEG=∠EHG=40º/2=20º
(4)由上得:∠CEH=20º+60º=80º=∠ECH,∴HE=HC,从而易证得:△EHF≌△CHF,∴∠EHF=∠CHF=10º
(5)由上可得:BE=BF=BH,∴点B为△EFH的外心,得:∠EBF=2∠EHF=20º,∴∠EBC=10º,∴∠EBA=20º-10º=10º
【例二】(如图)△ABC中,AD⊥BC垂足为D,点P在AD上,且满足:∠PBA=∠PBD=10º,∠CAD=40º,求:∠PCD的度数
【分析一】
(1)将△PBC沿BC翻折得△BCE,连DE,则:A.P.D.E共线,∠EBC=10º,∠PCD=∠ECD,由已知可得:∠ACB=50º,∠BAE=70º,∠ABE=30º
(2)以BE为边向上作正△BEF,连接FA,由上得:∠FBA=30º=∠EBA,∴AB为EF边的中垂线,∴AE=AF,∠FAB=∠EAB=70º,∴∠FAC=180º,即:F.A.C三点共线
(3)由:∠FBC=30º+20º=50º=∠ACB,∴FB=FC,∴FB=FE=FC,点F为△BCE的外心,∴∠BCE=60º/2=30º,即:∠PCD=∠BCE=30º
【分析二】(如下图)
(1)将△BCP沿BP边翻折得△BEP(如图),由已知∠ABP=∠CBP,∴点B.A.E共线,连PE、EC,则:∠PEB=∠PCB,BE=BC,BP为边CE的中垂线,交边AC于点M,连ME,∴ME=MC
(2)由已知得:∠BAD=70º,∠DPB=80º,∠ACD=50º,∵BC=BE,∴∠BCE=∠BEC=80º,∠MCE=30º=∠MEC,∴∠AME=60º
(3)(如图)作∠PAN=60º交ME于点N,则:∠NAE=50º,∵∠NEA=∠ACD=50º,∴NA=NE,∠ANE=80º=∠DPB=∠APM,∴A.P.M.N四点共圆,∴∠APN=∠AMN=60º
(4)得:△APN为正三角形,∴NP=NA=NE,∴点N为△APE的外心,∴∠AEP=∠ANP/2=30º,∴∠PCD=30º
(5)此题亦可:将△ABP沿BP边翻折
以上三种之分析,“道听度说”供参考。
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