利用等腰作正三角形造外心求解“角格点”问题“三例说”

在平面几何“角格点”问题中，我们可以利用等腰三角形的腰作正三角形，构造出一个大的等腰三角形与其外心，然后利用外心来求解“角格点”。现举例三题一起来说说：

【例一】（如图）在△ABC中，D为其内一点，∠ABD=30º，∠DBC=10º=∠DCB，∠ACD=70º，求：∠ADC的度数

【分析】（利用DB=DC作正三角形造外心）

（1）由已知可得：DB=DC，∠BAC=60º

（2）以BD为边作正△BDE，连EC交AB于点F，连FD，则DE=DC=DB，点D为△BCE的外心

（3）可得∠BCE=30º，∴∠DCE=∠DEC=20º，由∠EBA=∠DBA=30º，BE=BD，∴AB为边DE的中垂线，∴FE=FD

（4）易得：∠FDE=∠FED=20º，∴∠BFD=70º，∴∠BFD=∠ACD=70º，则：点A.F.D.C四点共圆，∴∠FAD=∠FCD=20º

（5）所以：∠CAD=40º，即：∠ADC=70º

【例二】（如图）在△ABC中，点D为其内部一点，且∠ABD=30º，∠DBC=24º，∠ACD=54º，∠DCB=24º，求：∠CAD的度数

【分析】（利用DB=DC作正三角形造外心）

（1）过点D作DE⊥BC，垂足为E，延长交AB于点F，连FC，由已知得：BD=CD，∴EF为BC边上的中垂线，∴FB=FC，∠BFD=∠CFD=36º，∴∠FCD=30º，∠FCA=24º，而∠BAC=48º

（2）由DB=DC，以CD为边如图作正△CDG，连BG、FG，由DB=DC=DG，得点D为△BCG的外心，∴∠CBG=30º，∴∠FBG=24º=∠FCA

（3）由∠DCF=30º=∠GCF，CD=CG，∴FC为DG的中垂线，∴FD=FG，∠CFD=36º=∠CFG，∴∠BFG=108º=∠CFA

（4）由上易证：△FBG≌△FCA，∴FG=FA，即：FD=FG=FA，△ADF等腰，∴∠FAD=18º，即：∠CAD=48º－18º=30º

【例三】（如图）在△ABC中，点D为其内部一点，且∠ABD=30º，∠DBC=42º，∠ACD=18º，∠DCB=54º，求：∠BAD的度数

【分析】（造等腰作正三角形造外心）

（1）由已知可得：AB=AC，∠BAC=36º，作BC边上的中垂线AE，即等腰△ABC的对称轴，∴∠BAE=∠CAE=18º

（2）延长CD交AE于点O，连OB，则∠OCA=∠OAC=18º，∴OA=OC，由对称性可知，OA=OC=OB，∴点O为△ABC外心，∠BOC=2×36º=72º

（3）由OA=OB，以OA为边作正△AOF，连接BF，得点O为△ABF的外心，∴∠ABF=30º，点D在BF上，∴∠OBF=12º，∴∠OFB=12º，△FOD中得∠FDO=84º=∠FOD，则：FD=FO=FA，所以点F为△AOD的外心，∴∠OAD=∠OFD/2=6º

（4）所以：∠BAD=18º＋6º=24º

以上三例之分析，“道听度说”供参考。