详解2023年广州市中考数学25题压轴大题

这道题有点难，好多学生叫苦连天，也难到了好多学霸，考场上没做完也是意料中的事。

本题是2023年广州市中考数学试题的最后一题25题，是压轴大题，思路清晰，绝对经典之题。主要运用了方程思维，讨论思维，考查了正方形，等腰三角形，定角定弦动点产生隐圆，对称变换相关知识，计算方面主要是考查二次根式的化简，角平分定理，勾股定理等。

25. 如图，正方形ABCD中，E为AD上一动点(不与A.D重合)，边BC关于BE对称的线段为BF，连接AF.

(1)若∠ABE=15°，求证:△ABF为等边三角形

(2)延长FA，与射线BE交于点G，

①问△BGF能否为等腰三角形?如果能，求此时∠ABE的度数;如果不能，请说明理由.

②若AB=

，求△BGF面积的最大值，并求出此 AE的长.

【详解】解：(1)证明: ∵∠ABE=15°

∴正方形ABCD中，∠CBE=90°- 15°=75°

又∵BF与BC关于BE对称

∴∠CBE=∠EBF=75°，且BC=BF

∴∠ABF=∠EBF-∠ABE= 75°- 15°=60°

又∵AB=BC

∴AB=BF=BC

∴△ABF为等边三角形

(2)①解：设∠ABE 为 a 度，则∠CBE =90°- a ，根据对称性质得∠ABF =90°-2a

又∵BC = AB = BF

∴∠F= ∠BAF =

x [180°-(90°-2a)]=45°+ a

∴∠G =45°+ a- a=45°

分三种情况讨论

I 若BF＝BG

∵∠F=45°+ a>∠G =45°

∴BF≠BG

II 若BG＝GF

∵∠F=45°+ a＝∠GBF=90°-a

∴ a =22.5°

III 若BF＝GF

∵∠FBG=∠G ＝45°

∴a =90°-45°=45°

∴E和D重合，不符合题意

综述 当a =22.5°时，GB＝GF，BGF为等腰三角形

(2)②解:连接CG，由对称性质知△BGF≌△BGC，故有△BGF与△BGC面积相等，求△BGF的面积，可转化为求△BGC面积。

由①已证得∠AGB=45°为定角，AB为定边，连接AC和BD相交于O，以O为圆心，以OA为半径作圆，显然A、B、C、D、G五点共圆，而BG绕点B作逆时针运动的角度，已由①证得0°∠<ABG<∠45°，所以G点的运动轨迹为以O为圆心，OA为半径的圆的一段劣弧AGD(不含A、D两点)。当G点运动到弧AGD的中点时，此时SΔBGC取得最大值.

过G作GH⊥BC于H

∵AB=

,

∴OG=OA＝

AB, OH=

AB，

∴GH=OG+OH=

AB

∴

＝

代入数值解得

即

(2) ②解(求AE的方法，巧设元，轻松解决):

为减少干扰，将△ABD简化出来如下图

由①算得∠ABE=22.5°，而∠ABD=45°,即∠ABE=

∠ABD

BE平分∠ABD，过E作ES⊥BD于S，设AE=a则有AE=ME=MD =a，DE=

a

∴AB=AD= a +

a = (

+1)a

又∵AB= AD＝(

+1)a=

解得a=

，即AE=