新高考I卷数学第20题：几何法好，还是向量法好？

2021年高考数学新高考I卷第20题是：

第1小题的证明如下：

第2小题的解法一（坐标法）：

第2小题的解法二（几何法）：

评析：本题重点考查考生对空间中垂直关系的判定、二面角及其求法和几何体的体积问题等知识的掌握程度，重点考查考生的空间想象能力。

第1小题是由面面垂直去证明线线垂直，既是送分题，也是为解决第2小题（不管是坐标法还是几何法）铺路。但也会有不少考生因漏掉条件（面与面的交线或线在面上）导致解题不规范而丢分。

第2小题是已知二面角的大小求三棱锥的体积，其关键是如何由二面角的大小求出AO的长度（即锥体的高）。大多数考生会通过建系利用空间向量来解决，这时会面临两个问题：一是如何建系？图中没有三条两两垂直的直线，必须添加点或线，如：作OM⊥BD交BC于M，分别以OM，OD，OA所在直线为坐标轴；取AD，OD的中点G，F，分别以FC，FD，FG所在直线为坐标轴；作CN丄平面BCD，分别以CD，CB，CN所在直线为坐标轴。二是建系后如何写出点E的坐标来（此时要设AO＝h）？方法有二：用向量关系（向量AE＝向量AD／3）或用比例关系（作EH丄BD于H，△EHD∽△AOD）。而基础较好、空间想象能力较强的考生会用几何法，通过＂作一证一算＂的步骤来解决。本题中由于有面面垂直这一有利条件，因此几何法与坐标法相比，运算量较小，更不易出错，相当一部分首选物理的考生会用这种方法。近几年全国卷的立体几何大题中求空间角基本上都可以用两种方法，并且几何法会简单些，这也许是一种导向吧？

值得一提的是，2021届广州市高三二模数学第20题与这道高考题＂相似度＂较高，大家不妨作一比较。