数学归纳法是一种重要的数学方法,其应用主要体现在证明等式、证明不等式、证明整除性问题、归纳猜想证明等.本专题主要举例说明利用数学归纳法证明数列问题。
1、数学归纳法适用的范围:关于正整数n 的命题(例如数列,不等式,整除问题等),则可以考虑使用数学归纳法进行证明。
2、第一数学归纳法:通过假设n = k 成立,再结合其它条件去证n = k + 1 成立即可.证明的步骤如下:
(1)归纳验证:验证n = n0(n0是满足条件的最小整数)时,命题成立;
(2)归纳假设:假设n = k (k 大于或等于n0 ,n 属于整数) 成立,证明当n = k + 1 时,命题也成立;
(3)归纳结论:得到结论: n 大于或等于n0 , n 属于整数时,命题均成立。
3、第一归纳法要注意的地方:
(1) 数学归纳法所证命题不一定从n = 1 开始成立,可从任意一个正整数n0 开始,
此时归纳验证从n = n0 开始;
(2) 归纳假设中,要注意k 大于或等于n0 ,保证递推的连续性;
(3) 归纳假设中的n = k ,命题成立,是证明n = k + 1 命题成立的重要条件.在证明的过程中要注意寻找n = k + 1 与n = k 的联系。
4、第二数学归纳法:在第一数学归纳法中有一个细节,就是在假设n = k 命题成立时,可用的条件只有n = k ,而不能默认其它n 小于或等于 k 的时依然成立。第二数学归纳法是对第一归纳法的补充,将归纳假设扩充为假设n 小于或等于 k ,命题均成立,然后证明n = k + 1 命题成立。可使用的条件要比第一归纳法多,证明的步骤如下:
(1) 归纳验证:验证n = n0 ( n0 是满足条件的最小整数)时,命题成立;
(2) 归纳假设:假设n 小于或等于k (k 大于或等于n0 ,n 属于整数) 成立,证明当n = k + 1 时,命题也成立;
(3) 归纳结论:得到结论: n 大于等于n0 , n 属于整数时,命题均成立。
5.注意点:对于归纳猜想证明类问题,有三个易错点:
一是归纳结论不正确;二是应用数学归纳法,确认 n 的初始值 n0 不准确;三是在第二步证明中,忽视应用归纳假设。
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