23年中考真题-秒杀题型，等腰△、相似△、勾股，乍看​无从下手

这是一道今年江苏苏州的中考填空压轴题，入手有难度。

【分析】

依题意，△ABC是等腰直角△，所以BC=√2*AB=6

设BE=x，则CD=3x

CE=BE+BC=6+x

在Rt△CDE中，由勾股定理，

易求ED=√(CE²+CD²)=√(10x²+12x+36)

又已知 ED=2AE

所以AE=√(10x²+12x+36) / 2

这样就把各条边用x表示出来了。

【求解】

如上图，过点E做EF⊥AC的延长线，垂足为F

而△ABC是等腰直角△，所以∠ACB=45°,

所以△FCE也是等腰直角△，故FC=EF

所以Rt△ABC∽Rt△FEC

所以 BC/EC=AC/FC

可求得FC= 3√2 + √2*x/2

所以EF=FC=3√2 + √2*x/2

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在Rt△AEF中，

EF=3√2 + √2*x/2

AF=FC-AC=√2*x/2

AE=√(10x²+12x+36) / 2

有勾股定理可得 AE² = AF²+EF²

化简为 x²-2x-6=0

由一元二次方程根公式，

可求得x=1+ √7  或 x=1-√7 (负值，不合题意，舍掉)