再探45°半角模型

年年陌上生秋草　日日楼中到夕阳

这期我们再来探究一下45°半角模型的相关命题。

如下图，在正方形ABCD中，∠EAF=45°，点E、F分别在边BC、CD上。我们用“全等”的方法，可得出多条结论，详情可点击链接：中考常见数学模型之半角４５°模型

这期我们反其道而行之，证一下以上命题的逆命题是否成立？

如上图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上。

1、若EF=BE+DF。请问∠EAF是否等于45°？

思路提示：

如下图，将Rt△ADF以A为中心顺时针旋转90°得Rt△ABG，则BG =DF AG=AF  ∠1=∠2

∵EG=BE+BG=BE+DF   EF=BE+DF

∴EG=EF

又∵AG=AF   AE=AE

∴△AEG≌△AEF(SSS)

∴∠EAG=∠EAF

∴∠1+∠EAB =∠EAF

∴∠2+∠EAB =∠EAF

又∵∠2+∠EAB +∠EAF=∠BAD=90°

∴∠EAF=1/2∠BAD=45°

2、已知正方形ABCD的边长为a，若△EFC的周长是2a，请问∠EAF是否等于45°？

思路提示：

如1题图，当△EFC的周长是2a时，则有EF=BE+DF。

由1题可知，∠EAF=45°

3、若点A到EF的距离与正方形ABCD的边长相等，请问∠EAF是否等于45°？

思路提示：

如图，作AH⊥EF于H，由题意，AH=AB

易证Rt△AHE≌Rt△ABE（HL）

∴∠1=∠2

同理可证∠3=∠4

∴∠EAF=∠1+∠3=1/2∠BAD=45°

4、若EA、FA分别是∠BEF、∠DFE的平分线，请问∠EAF是否等于45°？

思路提示：

如3题图，由EA、FA分别是∠BEF、∠DFE的平分线，可知AB=AH=AD，按3题方法可证∠EAF=45°。

5、若S_△ADF+S_△ABE =S_△AEF，请问∠EAF是否等于45°？

思路提示：

如下图，将Rt△ADF以A为中心顺时针旋转90°得Rt△ABG

作EM⊥AF于M，EN⊥AG于N

由1题知，S_△ABG =S_△AEF

∴1/2AG×EN=1/2AF×EM

∵AG= AF

∴EN=EM

∴AE平分∠GAF

∴∠1+∠BAE=∠EAF

∴∠2+∠BAE=∠EAF

又∵∠2+∠EAB +∠EAF=∠BAD=90°

∴∠EAF=1/2∠BAD=45°

6、如图，连接BD，交AE、AF于M、N，若BM²+DN²=MN²，请问∠EAF是否等于45°？

思路提示：

如图，将△ADN以A为中心顺时针旋转90°得Rt△ABP

则AN=AP DN=BP ∠PBA=∠NDA=45°

∴∠PBM=∠PBA+∠ABM=45°+45°=90°

在Rt△PBM中　由勾股定理得

BP²+BM²=MP²

即DN²+BＭ²=MP²

又因为BM²+DN²=MN²

∴MP=MN

又因为AP=AN  AM=AM

∴△AMP≌△AMN（ＳＳＳ）

∴∠ＭAP=∠ＭAF

即AM平分∠PAN

由5题可知∠EAF=45°

以下探究7-8作为练习题，大家可以尝试做一下。

7、如图， AE交ＣＢ延长线于E，AF交DC延长线于F

(1) 问当BE、DF、EF满足什么关系时，∠EAF=45°？

答案：EF=DF-BE

思路提示：将△ABE以A为中心逆时针旋转90°得Rt△ADP

（2）如（1）图，若∠EAF=45°，正方形边长为a。问点A到EF的距离？

答案：a

（3）如（1）图，若EA、FA分别是△ECF的外角、内角的平分线，问∠EAF的大小。

答案：∠EAF=45°

8、如图，AE交CB延长线于E，AF交CD延长线于F。

（1）当EF=BE+DF时，问∠EAF的大小。

答案：135°

（2）当点A到EF的距离等于正方形的边长时，求∠EAF的大小。

答案：135°

这期就到这里，朋友们，下期再见！