23年中考探究真题，旋转、手拉手、相似△，最后一问有2种情况，有难度易漏解。

这是一道今年湖南中考的探究真题，第三问，在旋转时会有两种情况，不能漏解。

【求解-（1）】

依题意，MN是△ABC的AC边的中位线，

所以MN=AC/2，MN∥AC

【求解-（2）】

如上图，在Rt△ABE中，AB=BC/√2 = 4，BE=AB/2= 2

由勾股定理，易求AE=2√3     ①

等腰直角△ABC和等腰直角△BEF共顶点B，构成手拉手模型，必有相似三角形，简证如下：

在△ABE和△CBF中，

∠ABE=∠ABC+∠CBE=45°+∠CBE=∠FBE+∠CBE=∠CBF

AB/CB=BE/BF=1/√2 （俩三角形对应角相等，对应角的两边成比例）

所以△ABE∽△CBF

所以AE/CF=1/√2，代入①，CF=2√6

在△BCF中，BC=4√2，BF=BE*√2 = 2√2，CF=2√6

注意观察，这三条边正好凑一个勾股数：

BC²=BF²+CF²，所以BF⊥CF

而sin∠BCF=BF/BC=1/2，所以∠BCF=30°

如上图，连接AN，所以AN=BC/2=2√2 （直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）

在Rt△DBE和Rt△DAN中，∠BDE=∠ADN（对顶角相等）

所以Rt△DBE∽Rt△DAN

所以DB/DA=DE/DN=BE/AN=1/√2

令DB=x，DN=BN-DB=2√2 - x，

DE = DN/√2 = 2-√2*x /2，

AD=AE-DE=2√3 - 2 + √2*x /2

由DB/DA=1/√2 ， 易求 x = 2√6 - 2√2

所以CD=BC-BD=BC-x =  6√2 -  2√6

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【求解-（3）】

如上图，因为M、N分别是AB、BC中点，所以MN是中位线，必然有△BEF∽△ABC，而这俩三角形共顶点B，构成手拉手模型。

在△BEF旋转过程中，会出现两种情况导致C、E、F三点共线。

下面分别讨论这两种情况。

【求解-（3）- ①】

如上图，根据手拉手模型性质，必有△ABE∽△FBC，如果不熟悉手拉手，也可参考下面的简单证明：

∠ABE=∠ABC+∠CBE=∠FBE+∠CBE=∠FBC

而AB/BE=BC/BF=2

所以△ABE∽△CBF

所以∠BAE=∠BCF

而∠ABF=∠ABC+∠CBE+∠EBF=∠EFB+∠CBE+∠EBF

所以∠BAE + ∠ABF = ∠BCF + ∠EFB+∠CBE+∠EBF= 180°

【求解-（3）- ②】

同第一种情况，有△ABE∽△CBF

所以∠BAE=∠FCB，∠ABE=∠CBF

而∠EFB=∠CBF+∠FCB=∠EBF=∠ABE+∠ABF=∠ABC=∠CBF+∠ABF

所以∠BAE=∠FCB=∠ABF

综合【求解-（3）- ①】和【求解-（3）- ②】两种情况，

存在∠BAE=∠CBF 或∠BAE + ∠ABF = 180°两种情景。

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【小结】

这道题其实就是探究手拉手模型，从特殊到一般的情况。两相似三角形共顶点，构成手拉手模型，必有相似三角形存在。