难得一见的经典最值题(记得收藏)

一个老表遇着个题，无奈之下请我解答。我答耶:做题伤筋费脑，会损耗大量体能，需要食物补充热量。老表当即表示:做出来后请我吃顿肯德基，以犒劳我流失呢能量，况且老表平时是个一毛不拔呢铁公鸡，这种美事我当然不能放过，于是马上找了家肯德基坐了下来。趁着老表排队购餐之时，我已麻利呢在餐巾纸上写下了解题过程.....省略100个字。

第一题之题目如下:

已知函数f(x)=1/(x²+1) + 1/((x-4)²+1)，求f(x)的最大值?

解:令x-4=m，x=n

n-m=4

n²-2mn+m²=16

n²+m²=16+2mn

原式=1/(m²+1) + 1/(n²+1)

=(n²+1+m²+1)/(m²+1)(n²+1)

=(n²+2+m²)/(m²+1)(n²+1)

=(n²+2+m²)/(m²n²+m²+n²+1)

=(18+2mn)/(17+2mn+m²n²)

设:mn=k

=(18+2k)/(17+2k+k²)=H

18+2k=17H+2kH+Hk²

0=17H+2kH+Hk²-2k-18

0=Hk²+k(2H-2)+(17H-18)

德尔塔无敌大法:

(2H-2)²-4*H*(17H-18)≥0

4H²-8H+4-68H²+72H≥0

-64H²+64H+4≥0

16H²-16H-1≤0

H=(16+-√(256-4*16*-1))/32

=(16+-8√5)/32=1/2+-√5/4

=(2+-√5)/4

(2-√5)/4为负数舍去

最终H≤(2+√5)/4

H(max)=(2+√5)/4

第二题之题目如下图所示:

解:把分母√(x²-4y²) + y进行拆解变形，以便套用柯西不等式。

原式分母=√(x²-4y²) + √(4y²)/2

=√1*√(x²-4y²) + (√1/4)*√(4y²)

根据(ac+bd)²≤(a²+b²)(c²+d²)

≤√((√1)² + (√(1/4))²)×

((√(x²-4y²))²+(√(4y²))²)

=√((1+1/4)(x²-4y²+4y²))

=√(5x²/4)

=(√5x)/2

原式:5x² + 1/(√(x²-4y²) + y)

≥5x² + 2/√5x

=5x² + 1/√5x + 1/√5x

≥3(5x² * 1/√5x * 1/√5x)^1/3

∴原式min=3