1、如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点A(-2,0),B(4,0)两点,与y轴交于点C,直线y=-2x+4与抛物线交于C、D两点,
(1)求抛物线的解析式;
(2)过点A的直线交第一象限抛物线于E点,交直线CD于F点;
①当AF=2EF时,求点E的坐标;
②平面直角坐标系中是否存在点Q,使得以C、A、Q、F四点为顶点的四边形是菱形,若存在,请直接写出Q点的坐标,若不存在,请说明理由。
答案:(1)y=-1/2x^2+x+4,(2)①E(2,4);此时点F坐标为(2/3,8/3);②(-11/3,10/3)
解析:(2)①点E坐标为(2,4);如下图已知A(-2,0),B(4,0);过点E、F分别向x轴作垂线段ER、FN分别交x轴于点M、N,则AN=2RN;
设直线AE解析式为y=k(x+2),(过定点A(-2,0))
与抛物线联立得:k(x+2)=-1/2x^2+x+4;
由题意得:方程已有一根为x=-2,利用韦达定理得:xE=4-2k
【这个步骤用两根和公式求解特别好用】,
与直线CD解析式联立得:k(x+2)=-2x+4;解得xF=(4-2k)/(k+2),
AN=2RN,所以xN-xA=2(xR-xN),即xF-xA=2(xE-xN)
代入横坐标得:(4-2k)/(k+2)-(-2)=2[4-2k-(4-2k)/(k+2)]
解得:k1=1,k2=0.因为点E在第一象限,k2=0舍去;
代入得xE=2,将xE=2代入抛物线或直线AE解析式得yE=4,
即点E坐标为(2,4)
(2)图1
②第一种情况,AC为菱形的一条边,则AC=CF或AC=AF,因为点F在第一象限,不成立;
第二种情况,
方法一图
方法一:联立法(函数解析式联立可求交点坐标,对角线AC的垂直平分线交CD于点F)
如图1,若AC为菱形的对角线,则QF垂直平分AC,F在线段AC的垂直平分线上,点M坐标为((xA+xC)/2,(yA+yC)/2),直线AC斜率(解析式中k值)与直线QF斜率乘积为-1(备注初中大纲外知识点,也可以通过相似三角形求直线QF的解析式),可得直线QF解析式为y=-1/2x+3/2,与CD解析式联立可得点F坐标为(5/3,2/3);利用中点坐标公式:AC中点于QF中点均为菱形对角线交点,
可得xA+xC=xQ+xF,yA+yC=yQ+yF,xQ=xA+xC-xF=-11/3,yQ=yA+yC-yF=10/3
点Q坐标为(-11/3,10/3)
方法二图
方法二:几何法(构造直角三角形,将要表示的线段长度放在直角边,利用勾股定理表示),
如图2,过点F作FH⊥x轴,交x轴于点H,过点C作CP⊥FH,交FH于点P,由题意得FC=FA,
所以在Rt△CPF和Rt△AFH中,FC^2=PF^2+CP^2,AF^2=AH^2+FH^2;
则有PF^2+CP^2=AH^2+FH^2;
设点F坐标为(m,-2m+4),
则有[4-(-2m+4)]^2+(m-0)^2=[m-(-2)]^2+(-2m+4)^2,
解得:m=5/3,得点F坐标为(5/3,2/3),
同方法一,利用中点坐标公式可得点Q坐标。
文中难免有纰漏之处,望大家批评指正,谢谢!!!
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