二次函数图像菱形的存在性_联立法一题

1、如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点A(-2，0)，B(4，0)两点，与y轴交于点C，直线y=-2x+4与抛物线交于C、D两点，

（1）求抛物线的解析式；

（2）过点A的直线交第一象限抛物线于E点，交直线CD于F点；

①当AF=2EF时，求点E的坐标；

②平面直角坐标系中是否存在点Q，使得以C、A、Q、F四点为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出Q点的坐标，若不存在，请说明理由。

答案：（1）y=-1/2x^2+x+4，（2）①E(2，4)；此时点F坐标为(2/3，8/3)；②（-11/3，10/3）

解析：（2）①点E坐标为（2，4）；如下图已知A(-2，0)，B(4，0)；过点E、F分别向x轴作垂线段ER、FN分别交x轴于点M、N，则AN=2RN；

设直线AE解析式为y=k(x+2)，（过定点A（-2，0））

与抛物线联立得：k(x+2)=-1/2x^2+x+4；

由题意得：方程已有一根为x=-2，利用韦达定理得：xE=4-2k

【这个步骤用两根和公式求解特别好用】，

与直线CD解析式联立得：k(x+2)=-2x+4；解得xF=(4-2k)/(k+2)，

AN=2RN，所以xN-xA=2(xR-xN)，即xF-xA=2(xE-xN)

代入横坐标得：(4-2k)/(k+2)-（-2）=2[4-2k-(4-2k)/(k+2)]

解得：k1=1,k2=0.因为点E在第一象限，k2=0舍去；

代入得xE=2，将xE=2代入抛物线或直线AE解析式得yE=4，

即点E坐标为（2，4）

（2）图1

②第一种情况，AC为菱形的一条边，则AC=CF或AC=AF，因为点F在第一象限，不成立；

第二种情况，

方法一图

方法一：联立法（函数解析式联立可求交点坐标，对角线AC的垂直平分线交CD于点F）

如图1，若AC为菱形的对角线，则QF垂直平分AC，F在线段AC的垂直平分线上，点M坐标为((xA+xC)/2，(yA+yC)/2)，直线AC斜率（解析式中k值）与直线QF斜率乘积为-1（备注初中大纲外知识点，也可以通过相似三角形求直线QF的解析式），可得直线QF解析式为y=-1/2x+3/2，与CD解析式联立可得点F坐标为（5/3，2/3）；利用中点坐标公式：AC中点于QF中点均为菱形对角线交点，

可得xA+xC=xQ+xF，yA+yC=yQ+yF，xQ=xA+xC-xF=-11/3，yQ=yA+yC-yF=10/3

点Q坐标为（-11/3，10/3）

方法二图

方法二：几何法（构造直角三角形，将要表示的线段长度放在直角边，利用勾股定理表示），

如图2，过点F作FH⊥x轴，交x轴于点H，过点C作CP⊥FH，交FH于点P，由题意得FC=FA，

所以在Rt△CPF和Rt△AFH中，FC^2=PF^2+CP^2，AF^2=AH^2+FH^2；

则有PF^2+CP^2=AH^2+FH^2；

设点F坐标为（m，-2m+4），

则有[4-(-2m+4)]^2+(m-0)^2=[m-(-2)]^2+(-2m+4)^2，

解得：m=5/3，得点F坐标为（5/3，2/3），

同方法一，利用中点坐标公式可得点Q坐标。

文中难免有纰漏之处，望大家批评指正，谢谢！！！