初二：手拉手模型应用实例

本篇有一难一易两个例题，分别说明手拉手模型在其中所起的作用。

一．例4：

       已知，在△ABC中，AB=AC，D为BC上一点，AD=DE，∠ADE=∠BAC=α。

（1）如图1，若α=90°，求∠DCE。

解析：

       若连A、E，则有两个顶角相等的等腰三角形，而且顶角是90°。但这两个顶角顶点并不重合，所以这两个三角形并不构成一个手拉手模型。

       在D点为BC上任意一点的情况下，我们可以猜测所求∠DCE为45°。而已知的两个等腰直角三角形的底角都为45°，因此，我们优先考虑通过手拉手模型的构造，造出两个全等三角形，转移角度，使得所求角和已知的某一个等腰直角三角形的底角相等。

       因为已有两个等腰直角三角形，所以存在一个选择问题，新构造的一个等腰直角三角形是与△ABC还是与△ADE共顶角顶点。

       不妨两个方案都试一试，都比较简单。

       最后可以发现，构造一个以DC为腰，以D为直角顶点的等腰直角三角形，是可行的方案。这个方案的好处是可以将所求角∠DCE转移出去，使得它和构造出的一个已知角相等。而另一个方案则没有这样的效果。

       所以，过D点作DF垂直于DC，交CA的延长线于F，则△FDC和△ADE构成一个手拉手模型。

       因此，△CDE≌△FDA。所以∠DCE=∠DFA=45°。

（2）如图2，若α=120°，求∠DCE。

              解析：

       同（1），过D作射线DF，使∠FDB=60°，射线DF交CA延长线于F。

       则，∠FDC=120，∠DFC=180°-120°-30°=30°=∠DCF，所以△FDC也是要给以120°角为顶角的等腰三角形。所以，它和△ADE形成一个手拉手模型。

       所以，∠DCE=∠DFA=30°。

（3）如图3，点E在直线BC的下方，∠DCE于∠ACB是否存在某种确定的数量关系？试说明理由。

       解析：

       在（1）和（2）这两个顶角分别为90°和120°的特例中，我们发现∠DCE都等于∠ACB。如果在两个已有等腰三角形的顶角相等但并未告知具体角度的情况下，∠DCE和∠ACB还是相等关系吗？

       只要继续按照前面两例的思路构造类似的手拉手模型，是可以证明这个相等关系是仍然存在的。证明细节同学们可自行完成。

二．例5：

如图，在平面直角坐标系中，点A(-2,0)，B(0,2 

)，∠ABO=30°，R(-6,0)，点P为线段BR上一动点，以AP为边作等腰△APQ，PA=PQ，且∠APQ=∠RAB，连接AQ，当点P运动时，△ABQ的面积是否变化？若不变，求其值；若变化，求其变化范围。

解析：

       按惯例，解题从分析题设开始。

       题目问，△ABQ的面积是否随着D点的运动而变化。那我们就分析这个三角形及其面积。

       一个三角形的面积是否变化，可以有两个角度，一个是分析三角形本身，一个是把这个三角形置身于一个合适的模型当中，看这个模型除去这个三角形后剩余的面积是否变化，即有些同学了解的”割补法“的应用。

       我们首先考察这个三角形本身。一个三角形的面积等于底边长乘以高的积的一半。考察它的面积变还是不变，我们优先的思路是在这个三角形中找一条定边作为底边，然后考察它上面的高。如果高也是确定长度的，就可以断定面积是定值了。

       刚好，我们就发现了△ABQ就有一条底边AB是定长，顺理成章，我们就要考察AB上的高，比如说是QM，是否是一个定长。一点（Q）到一条定直线（AB）的距离是否变化，就看这个点是否在一条与AB平行且距离保持不变的定直线上。

       显然，本例中，Q是随着P点的运动而运动的，它是一个随动点。所以，我们要考察Q点的运动轨迹是不是一条和AB平行且距离保持不变的定直线。

       现在问题转化成了考察Q点的轨迹是不是一条直线，且它是否和AB的距离为定值。

       考察一个点的轨迹是否是一条定直线，在实战中，一般可以考察它是否是在一个定角的某一条确定的夹边上运动。比如说，现在RB就是一条定直线，R是一个顶点，如果∠QRB是一个定角，那么Q就一定是在直线RQ上运动。如果直线RQ还∥AB，则Q到AB的距离就是定值了，即AB上的高就是定值。

   所以，问题现在又转化成了，如果将Q点和一条定线段的端点连接，能够确定所形成的以这个端点为顶角的角是一个定角，且连接的线段和AB平行，就大功告成。

   本例中定线段有几条，但满足和Q一起形成一个定角的线段我们则要好好思考一下，哪一条可以满足。

   我们现在需要让我们新造的这个角等于一个确定的角度，一般应以两个全等三角形来实现。而图形中已经给出了两个顶角相等的两个等腰三角形，所以我们大概率应该是通过手拉手模型来构造这两个全等的三角形。

   可以把P、Q的位置多变化几次，取一些极端位置来考察“以Q所在直线为一条夹边，以已知定线段为另一条夹边，以这条定线段的端点为角顶点的角”的变化，如果有某一条定线段使得这个角似乎是不变的，那我们就证明这个角确实是不变的。

   这个过程不需太长，应该就可以找到∠QRB。它应该总是等于30°。如果它确实是等于30°，那么，由于直线RQ还是和AB平行的，这样就打通了整个解题思路了。

   现在就假设我们要证明∠QRB=30°，那么怎么样构造出一个什么样的手拉手模型来造出两个全等的三角形，而且∠QRB是其中的一个角呢？

   既然目标很明确，实现路径就不难找到。显然，我们可以过P向下作射线PN∥y轴，且使PN=PR。这样三角形△PRN就是一个顶角为120°的等腰三角形，而且和顶角同为120°的等腰三角形APQ共顶点，这样，这两个三角形就构成了一个手拉手模型。

   所以，△PAR≌△OQN

   所以，∠PNQ=∠PRA=30°。

   这个结果离我们证明∠PRQ=30°还有距离。

   因为∠PRN=∠PNR=30°，如果要证明∠PRQ=30°，其实是要证明Q在直线RN上。

   因为∠PNQ=∠PNR=30°，所以Q就是在射线NR上。

   所以∠PRQ=∠PRN=30°。

   解题的具体过程略去，请同学们自行完成。