通过引导将点E和点D合并,能快速反应出将△ABC旋转60°,使得两点重合,殊为不易。
【第一步】 先确定点F轨迹
如上图,依题意,AE=AF,且∠BAF=60°,点A是定点,E、F是动点,
符合瓜豆模型成立条件,点E在AB上运动,故点F的轨迹也是直线,且与AB的夹角是60°。
如上图,根据两点确定一条直线,当点E在点A处,点F也在点A处;当点E在点B处,则点F在B'处,故点F的运动轨迹是线段AB',且AB=AB
【第二步】将求CE+DF的最小值得问题进行转化
想法将点E和点F合并,这是最为关键的一步
如上图,将△ABC绕点A顺时针旋转60°,则点E与点F重合
待求式CE+DF,就转化为C'F+DF
而点C是定点,旋转后的点C'依然是定点。
显然此时的C'F+DF构成将军饮马,
【第三步】问题进一步转化
如上图,做点C'关于AB'的对称点G,连接C'G交AB'于点M,
连接GF,由对称性可知 GF=C'F,C'G⊥AB'
问题进一步转化为求GF+DF的最小值,
如上图,连接DG,则(GF+DF)min = DG
【求解】
过点G做GH⊥CA的延长线,垂足为H,
在Rt△AB'C'中,由AC'=4,∠A=∠B'AC'=30°,
所以C'M=AC'*sin∠B'AC' = 2,
AM=AC'*cos∠B'AC' = 2√3
易证四边形AHGM是矩形,(想想为啥?)
所以GH=AM=2√3,AH=GM=C'M=2
在Rt△DHG中,
DH=AD+AH=4
GH=2√3
由勾股定理,易求DG=√(DH²+GH²) = 2√7
所以,(CE+DF)min = DG= 2√7
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