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一题多解妙解题
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>《一道题》
2023.10.17 湖南
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要解答好一条比较难的题目,除了充分利用各个已知条件外,还要认真分析结论的特点,回顾我们常用的解决方法,这样抽丝剥茧的分析,许多时候能使我们茅塞顿开、峰回路转,直至豁然开朗、柳暗花明。真是验证了我们的老校长经常对我们说的两句话,“办法总比困难多”,“没有办不到,就怕想不到”。
昨天有一位学生问我下面的题目
,
本人觉得这条题目还不错,特推荐给各位;
题目:如图,在
Rt
△ABC中,AC=4,
∠A=30
0
,D为AC的中点,点E是AB上的动点,将E绕点A顺时针旋转60
0
得到点F,则CE+DF的最小值为
。
我从代数、几何两个角度想出三种方法。
方法一:
几何法(一)
由于结果是求CE+DF的最小值,想起我们经常做共顶点的两条线段和的最小值问题,这种问题是运用将军饮马或者两点之间线段最短进行解决,而此题的两条线段没有一个顶点是公共的,那怎么办呢?我们是否运用转化大法,构造一条线段与其中一条线段相等,与另一条线段共顶点呢?
由于点
F
是由点
E
绕点A顺时针旋转60
0
得到的,我想到将点C也绕点A顺时针旋转60
0
得到点C’,甚至将
△ABC
绕点A顺时针旋转60
0
得到
△AB’C’,
这样易证明
△ACE≌△AC’F,从而得到C’F=CE,这样就把问题转化为求C’F
+DF的最小值,而
C’F
与DF共顶点F,从而用将军饮马加以解决。
方法二:
几何法(二)
受到上面方法的启发,受到条件中
F
点是由
E
点绕点
A
顺时针旋转
60
0
过去的,所以将点
C
也绕点
A
旋转
60
过去。根据相对运动的观点,我们何尝不将点
E
旋转过去,反过来将点
D
绕点
A
逆时针旋转
60
0
得到点
D’
,易证
△ADF≌△AD’E
,从而
D’E=DF
,从而将问题
转化为求CE
+D’E的最小值。
此方面根据相对运动的观点,采用逆向旋转的方法,此方法就本题来说与上面的方法解答难易程度差不多,但在有时对有关题目解答中可以显示这种方法的优越性,甚至秒杀相关题目。
方法三:
代数法
此方法本意通过设动线段长为未知量,用这个未知量去表示两线段的和,从而想用函数知识去解决。
但这个函数我们没学过,更无法求它的最小值,但这个式子我们似曾相识,在学习勾股定理时,我们曾构图求这个式子的最小值。
我们可以用数形结合的方法,构造下面的图形。
此方法一开始我是想通过设未知数,然后用未知数表示两条线段的和,准备用函数解决最值问题,但是两条线段的和表示出来之后,不能用我们已学的函数知识去解答,如何求它的最小值,这时我又想起在学习勾股定理时,我们曾经做过的一道题,于是用数形结合,构造了一个几何图形来解决问题。
三种方法讲完了,希望同学们能从中学到一些有用的东西,我想这对你今后如何学习数学也有一定的指导作用。
如果各位有其它方法,欢迎共享。
本人胡成军,中共党员,
1984
年参加工作,扎根农村初中数学教学
40
载,
2012
年评为中学高级教师,热衷于初中数学解题研究和课堂教学研究,多项研究成果以论文形式呈现并获奖,主持参加课题研究,教学效果显著,多次获得乡、县、市、省级的各种表彰。
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