一题多解妙解题

要解答好一条比较难的题目，除了充分利用各个已知条件外，还要认真分析结论的特点，回顾我们常用的解决方法，这样抽丝剥茧的分析，许多时候能使我们茅塞顿开、峰回路转，直至豁然开朗、柳暗花明。真是验证了我们的老校长经常对我们说的两句话，“办法总比困难多”，“没有办不到，就怕想不到”。

昨天有一位学生问我下面的题目,本人觉得这条题目还不错，特推荐给各位；

题目：如图，在Rt△ABC中，AC=4,∠A=30⁰,D为AC的中点，点E是AB上的动点，将E绕点A顺时针旋转60⁰得到点F，则CE+DF的最小值为      。

我从代数、几何两个角度想出三种方法。

方法一：几何法（一）

由于结果是求CE+DF的最小值，想起我们经常做共顶点的两条线段和的最小值问题，这种问题是运用将军饮马或者两点之间线段最短进行解决，而此题的两条线段没有一个顶点是公共的，那怎么办呢？我们是否运用转化大法，构造一条线段与其中一条线段相等，与另一条线段共顶点呢？

由于点F是由点E绕点A顺时针旋转60⁰得到的，我想到将点C也绕点A顺时针旋转60⁰得到点C’，甚至将△ABC绕点A顺时针旋转60⁰得到△AB’C’,这样易证明△ACE≌△AC’F,从而得到C’F=CE，这样就把问题转化为求C’F+DF的最小值，而C’F与DF共顶点F，从而用将军饮马加以解决。

方法二：几何法（二）

受到上面方法的启发，受到条件中F点是由E点绕点A顺时针旋转60⁰过去的，所以将点C也绕点A旋转60过去。根据相对运动的观点，我们何尝不将点E旋转过去，反过来将点D绕点A逆时针旋转60⁰得到点D’，易证△ADF≌△AD’E，从而D’E=DF，从而将问题转化为求CE+D’E的最小值。

此方面根据相对运动的观点，采用逆向旋转的方法，此方法就本题来说与上面的方法解答难易程度差不多，但在有时对有关题目解答中可以显示这种方法的优越性，甚至秒杀相关题目。

方法三：代数法

此方法本意通过设动线段长为未知量，用这个未知量去表示两线段的和，从而想用函数知识去解决。

但这个函数我们没学过，更无法求它的最小值，但这个式子我们似曾相识，在学习勾股定理时，我们曾构图求这个式子的最小值。

我们可以用数形结合的方法，构造下面的图形。

此方法一开始我是想通过设未知数，然后用未知数表示两条线段的和，准备用函数解决最值问题，但是两条线段的和表示出来之后，不能用我们已学的函数知识去解答，如何求它的最小值，这时我又想起在学习勾股定理时，我们曾经做过的一道题，于是用数形结合，构造了一个几何图形来解决问题。

三种方法讲完了，希望同学们能从中学到一些有用的东西，我想这对你今后如何学习数学也有一定的指导作用。

如果各位有其它方法，欢迎共享。

本人胡成军，中共党员，1984年参加工作，扎根农村初中数学教学40载，2012年评为中学高级教师，热衷于初中数学解题研究和课堂教学研究，多项研究成果以论文形式呈现并获奖，主持参加课题研究，教学效果显著，多次获得乡、县、市、省级的各种表彰。