二次函数背景下的特殊图形存在性问题

摘要

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      二次函数背景下的特殊图形存在性问题是中考的热点话题，也是常考考点，利用分类讨论思想建立方程或者寻找相似模型是解决这类问题的核心，本文将以题为例，通过层层变式，探索提炼总结这类题型的解法。

SPRING 2024

引例

      已知抛物线y＝－x²＋2x＋3与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C,连接BC,D是抛物线的顶点，直线l//BC且经过点D，点M是直线l上一动点,当△BCM为等腰三角形时，请求出点M的坐标.

分析

       当动点在确定直线上时，利用两点之间的距离公式，分类讨论建立方程可以求解等腰三角形的顶点坐标问题。

引例变式1

        点M是直线l上一动点上，点N是平面直角坐标系内一动点,是否存在以点B、C、M、N为顶点的四边形是菱形? 若存在,请直接写出点N的坐标;若不存在,请说明理由.

分析

      将等腰三角形沿着底边翻折得到的四边形即为菱形，再利用平移法求顶点坐标，因此解决菱形存在性问题其本质是寻求等腰三角形。

引例变式2

   当△BCM为直角三角形时，请求出点M的坐标.

分析

      利用两点之间的距离公式，分类讨论建立方程可以求解直角三角形的顶点坐标问题。

引例变式3

点M是直线l上一动点上，点N是平面直角坐标系内一动点,是否存在以点B、C、M、N为顶点的四边形是矩形? 若存在,请直接写出点N的坐标;若不存在,请说明理由.

分析

      以直角三角形为对角线，平移直角边可以得到矩形，因此解决矩形存在性问题其本质是寻求直角三角形。

方法延伸

在引例变式2中，求直角三角形顶点坐标，利用两点直角距离公式分类讨论建立方程求解以外，还有更为简便的方法。下图将以点B为直角顶点为例子进行分析.

学有所获

      几何动态问题的主要思想就是“化动为静”，对于特殊图形存在性问题这类问题，一般需要分类讨论。当动点在确定直线上时，找等腰三角形或者直角三角形的通法就是利用两点之间的距离公式表示三边的平方，再进一步分边相等三种情况列方程求值，但是，当动点在抛物线上时，构造一线三等角模型找相似的方法会更为简便。同时解决菱形或者矩形的存在性问题其本质也就是找等腰三角形或者直角三角形。