利用特殊直角三角形简化相似三角形存在性问题

通常意义下，我们所说的特殊直角三角形，主要包括以下两类：第一类，含30°角或45°角的直角三角形，即每个学生中的那一幅三角尺；第二类，边长比特殊的直角三角形，例如三边之比为3：4：5，或者1：2：√5，它们的锐角三角函数值是特殊值。在解题过程中，如果遇到这类三角形，一定不要错过，它们会给解题过程带来意想不到的简化效果。

题目

矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E为线段BC上一动点，EF⊥AE交CD于F，点G为射线CD上一点，且CE²=CF·CG

(1)证明：∠BAE=∠CGE

(2)若点F与点G重合，求线段CF的长.

(3)若△ACE与△EFG相似，求线段BE的长

解析：

(1)从题目条件中的CE²=CF·CG出发，显然它们是一组相似三角形的对应边，即图中的△CEF∽△CGE，证明它们相似之后，∠CGE=∠CEF，然后注意观察∠AEF两侧，由于∠AEF是直角，于是∠CEF+∠AEB=90°，而∠AEB+∠BAE=90°，所以得到∠CEF=∠BAE，最后得到∠BAE=∠CGE；

(2)当点F与点G重合，则CF=CG，仍然看条件中的CE²=CF·CG，可变为CE²=CF²，于是CE=CF，出现一个特殊的等腰三角形△CEF，如下图：

现在简单了，有两个等腰直角三角形，分别是△ABE和△CEF，AB=BE=6，于是CE=CF=2；

(3)注意题目条件中的描述，只是提到有两个三角形相似，并未指出对应关系，因此需要分情况讨论，在分情况之前，有必要对两个三角形的形状作进一步了解，我们观察到∠AEC始终为一个钝角，同时∠EFG也是钝角，因此在这两个三角形相似时，点E的对应点一定是点F，这样便在讨论中节省一部分步骤，只需要讨论这个钝角的两边如何对应即可。

①若△ACE∽△EGF，如下图：

先不忙列比例式，观察一下∠ACE，它是△ABC的一个锐角，而△ABC的三边恰好是6，8，10，于是它的三边比为3：4：5，是一个特殊直角三角形，在这种情况下，只要直角三角形中有一个锐角和它相等，那么这个三角形便是一个特殊直角三角形，现在我们再来看∠ACE的对应角∠EGF，由于在第1小题中已经得到∠BAE=∠EGF，因此∠ACE=∠EGF=∠BAE，最终在△ABE中，我们发现它是特殊直角三角形，且AB=6，于是求得BE=4.5；

②若△ACE∽△GEF，如下图：

依然观察对应角，此时∠CAE=∠EGF，而∠EGF=∠BAE，因此∠BAE=∠CAE，即AE是∠BAC的角平分线，迅速联想到角平分线上的点到两边距离相等，作EH⊥AC，设BE=x，则EH=x，且AH=AB=6，可得CH=4，CE=8-x，在Rt△CEH中，利用勾股定理列方程得(8-x)²=x²+16，解得x=3，即BE=3；

因此，最后BE=4.5或3.

解题反思

在第3小题中，学生在读题时，很容易被图中众多的相似三角形弄得晕头转向，这么多相似三角形，到底用哪一对，究竟如何选择比例线段，然后如何进行变换？其实这些都不是最简洁的方法，当头脑中被这些彼此相似的三角形充满之后，思维也陷入僵局。其实题目在一开始便有很明显的提示，即这个矩形的长与宽，分别是6和8，立刻可判断出特殊直角三角形ABC，只是它在脑海中一闪而过，没被抓住罢了。从解法上来看，没有特别之处，都是常规常法，所以说，一道好题，便属于这种初见时毫无头绪，但深入之后却十分亲切。同时也提醒中考复习的同学们，做题之后，你在干嘛，直接决定了未来遇到同类题，你是否依然记得。