利用特殊直角三角形简化相似三角形存在性问题
通常意义下,我们所说的特殊直角三角形,主要包括以下两类:第一类,含30°角或45°角的直角三角形,即每个学生中的那一幅三角尺;第二类,边长比特殊的直角三角形,例如三边之比为3:4:5,或者1:2:√5,它们的锐角三角函数值是特殊值。在解题过程中,如果遇到这类三角形,一定不要错过,它们会给解题过程带来意想不到的简化效果。
题目
矩形ABCD中,AB=6,BC=8,点E为线段BC上一动点,EF⊥AE交CD于F,点G为射线CD上一点,且CE²=CF·CG
(1)证明:∠BAE=∠CGE
(2)若点F与点G重合,求线段CF的长.
(3)若△ACE与△EFG相似,求线段BE的长
解析:
(1)从题目条件中的CE²=CF·CG出发,显然它们是一组相似三角形的对应边,即图中的△CEF∽△CGE,证明它们相似之后,∠CGE=∠CEF,然后注意观察∠AEF两侧,由于∠AEF是直角,于是∠CEF+∠AEB=90°,而∠AEB+∠BAE=90°,所以得到∠CEF=∠BAE,最后得到∠BAE=∠CGE;
(2)当点F与点G重合,则CF=CG,仍然看条件中的CE²=CF·CG,可变为CE²=CF²,于是CE=CF,出现一个特殊的等腰三角形△CEF,如下图:
现在简单了,有两个等腰直角三角形,分别是△ABE和△CEF,AB=BE=6,于是CE=CF=2;
(3)注意题目条件中的描述,只是提到有两个三角形相似,并未指出对应关系,因此需要分情况讨论,在分情况之前,有必要对两个三角形的形状作进一步了解,我们观察到∠AEC始终为一个钝角,同时∠EFG也是钝角,因此在这两个三角形相似时,点E的对应点一定是点F,这样便在讨论中节省一部分步骤,只需要讨论这个钝角的两边如何对应即可。
①若△ACE∽△EGF,如下图:
先不忙列比例式,观察一下∠ACE,它是△ABC的一个锐角,而△ABC的三边恰好是6,8,10,于是它的三边比为3:4:5,是一个特殊直角三角形,在这种情况下,只要直角三角形中有一个锐角和它相等,那么这个三角形便是一个特殊直角三角形,现在我们再来看∠ACE的对应角∠EGF,由于在第1小题中已经得到∠BAE=∠EGF,因此∠ACE=∠EGF=∠BAE,最终在△ABE中,我们发现它是特殊直角三角形,且AB=6,于是求得BE=4.5;
②若△ACE∽△GEF,如下图:
依然观察对应角,此时∠CAE=∠EGF,而∠EGF=∠BAE,因此∠BAE=∠CAE,即AE是∠BAC的角平分线,迅速联想到角平分线上的点到两边距离相等,作EH⊥AC,设BE=x,则EH=x,且AH=AB=6,可得CH=4,CE=8-x,在Rt△CEH中,利用勾股定理列方程得(8-x)²=x²+16,解得x=3,即BE=3;
因此,最后BE=4.5或3.
解题反思
在第3小题中,学生在读题时,很容易被图中众多的相似三角形弄得晕头转向,这么多相似三角形,到底用哪一对,究竟如何选择比例线段,然后如何进行变换?其实这些都不是最简洁的方法,当头脑中被这些彼此相似的三角形充满之后,思维也陷入僵局。其实题目在一开始便有很明显的提示,即这个矩形的长与宽,分别是6和8,立刻可判断出特殊直角三角形ABC,只是它在脑海中一闪而过,没被抓住罢了。从解法上来看,没有特别之处,都是常规常法,所以说,一道好题,便属于这种初见时毫无头绪,但深入之后却十分亲切。同时也提醒中考复习的同学们,做题之后,你在干嘛,直接决定了未来遇到同类题,你是否依然记得。
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