抛物线中的线段最值，通常解法是用含参数的代数式表示出这条线段长度，同时这个代数式一般为关于这个参数的二次多项式，通过配方可求其最值，而矩形存在性的探究，通常是基于矩形的判定，特别是其对角线的特殊性。
题目
如图，抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于点A(-1,0)，B(-3,0)，且OB=OC.
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P在抛物线上，且∠POB=∠ACB，求点P的坐标；
(3)抛物线上两点M，N，点M的横坐标为m，点N的横坐标为m+4，点D是抛物线上M，N之间的动点，过点D作y轴的平行线交MN于点E.
①求DE的最大值；
②点D关于点E的对称点为F，当m为何值时，四边形MDNF为矩形.
解析：
(1)用抛物线的交点式可能会稍快一点，设y=a(x+1)(x+3)，代入点C(0,-3)，解得a=-1，于是y=-x²-4x-3；
(2)没有给出度数的角，最佳描述大小的方法是三角函数，构造一个含∠ACB的直角三角形，求出其正切值，再构造含∠POB的直角三角形即可。
先过点A作AG⊥BC，如图所示：
很容易得到等腰Rt△ABG，而AB=2，于是求出BG=AG=√2，再求出BC=3√2，因此得到CG=2√2，所以tan∠ACG=0.5，这便代表∠ACB的大小了，而利用一次函数斜率与这个正切值的关系，后面的解答会更快捷。
然后我们只需要过原点，分别作两条直线，其斜率分别为0.5和-0.5即可，如图所示：
这两条直线分别与抛物线相交于四个点，这些点即我们所求的点P，当k=0.5时，直线y=0.5x与抛物线y=-x²-4x-3联立得方程x²-4.5x+3=0，再将直线y=-0.5x与抛物线联立得第二个方程，分别解它们，如下图：
(3)先表示出点M，N的坐标，分别是M(m,-m²-4m-3)，N(m+4,-m²-12m-35)，利用它们写出直线MN的解析式y=-2(m+4)x+m²+4m-3。
①到底点D在何处，能保证DE长度最大呢？
图形直观法：
我们不妨任意在抛物线上任选一个点，过这个点作MN的平行线l，在草稿纸上多画几次，会发现当这条直线l与抛物线只有唯一公共点时，DE的长度最大。
解题思路便由此得来，作MN的平行线，同时它与抛物线只有唯一公共点，这直接联想到判别式了。
设直线l的解析式为y=-2(m+4)x+b，与抛物线联立，求其判别式△=0，然后求出b=m²+4m+1，解这个方程-2(m+4)x+m²+4m+1=-x²-4x-3，它有两个相等的实数根，是x=m+2，因此当点D横坐标为m+2时，DE最长，此时D(m+2,-m²-8m-15)，E(m+2,-m²-8m-19)，所以DE最大值是4；
代数解析法：
设点D(t,-t²-4t-3)，E(t,-2(m+4)t+m²+4m-3)，于是DE=-t²+2(m+2)t-m²-4m=-[t-(m+2)]²+4，所以当t=m+2时，DE有最大值4；
②到底m为何值时，四边形MDNF为矩形呢？
由于MN和DF只能是矩形对角线，它们的几何性质要求它们互相平分且相等，所以得出E点必须是MN中点，即横坐标为m+2，似乎在上一小题中，我们已经得到过一次了，所以DE取最大值4时，四边形MDFN为平行四边形。
只差一步就成矩形了，DF=2DE=8，因此MN=8，用两点距离公式表示出MN，所以MN²=64，列出方程即可求出m=-4±√3/2.
解题反思
总体上感觉此题第一个难点在于函数题中的角度相等条件的处理，在几何题中，这个条件比较容易相联相关定理，但在函数题中，较少出现，而角度和边长的关系，用三角函数最方便。
第二个难点是线段最值问题，此题恰好用代数解析法非常快捷，表示出点坐标，再表示出线段长度代数式，配方，完毕。
第三个难点是矩形存在性，既然是矩形，那么其对角线互相平分且相等，便是突破口，用解析思想理解几何性质，是数形结合的基础。
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