求线段和最值的进阶玩法——2019年重庆中考数学B卷第26题

线段和最值最初出现的位置是在人教版数学八年级上册轴对称章节，著名的将军饮马问题。初中阶段从纯几何角度，解决此类问题的依据主要是“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个定理，而线段和最值，基本都会转化成两点间距离或垂线段长度。

题目

在平面直角坐标素中，抛物线y=-√3/4x²+√3/2x+2√3与x轴交于A，B两点（点A在点B右侧），与y轴交于点C，顶点为D，对称轴与x轴交于点Q。

(1)如图1，连接AC，BC，若点P为直线BC上方抛物线上一动点，过点P作PE∥y轴交BC于点E，作PF⊥BC于点F，过点B作BG∥AC交y轴于点G，点H、K分别在对称轴和y轴上运动，连接PH，HK。当△PEF的周长最大时，求PH+HK+√3/2KG的最小值及点H的坐标；

(2)如图2，将抛物线沿射线AC方向平移，当抛物线经过原点O时停止平移，此时抛物线顶点记为D'，N为直线DQ上一点，连接D'，C，N，△D'CN能否构成等腰三角形？若能，直接写出满足条件的点N的坐标；若不能，请说明理由。

解析：

(1)不可否认，此小题并不如一般压轴题那样友好，阅读理解的难点在两处，首先是“当△PEF的周长最大时”，其次是线段和中的那个√3/2KG。

△PEF的周长何时最大？

不要孤立地看它的三边，而要看整个三角形，根据题目中描述的作法，PE、PF、EF长度虽然随点P而变化，但三角形形状却没有发生改变，观察到这一点，便可联想到它是否和图中某个三角形形状相同，于是我们看到了△BOC，EF在BC上，PE与OC平行，PF与BC垂直。

△BOC形状确定吗？

答案是肯定的，抛物线解析式已知，我们可以先求出图中A、B、C、D四点坐标，作为准备工作。将抛物线解析式从一般式化为顶点式为y=-√3/4(x-1)²+9√3/4，再化为交点式为y=-√3/4(x+2)(x-4)，求出A(-2，0)，B(4，0)，C(0，2√3)，D(1，9√3/4)，再证明出△PEF∽△BOC，因此△PEF周长最大时，只要某条边最长即可，显然PE的长度最好表示。

设P(m,-√3/4m²+√3/2m+2√3)，根据前面求得点B和点C坐标，得到直线BC的解析式为y=-√3/2x+2√3，所以点E坐标为(m,-√3/2m+2√3)，则PE=-√3/4m²+√3/2m+2√3-(-√3/2m+2√3)=-√3/4m²+√3m=-√3/4(m-2)²+√3，即当m=2时，PE有最大值，所以P(2，2√3)。

形状确定的三角形，周长最值可转化成其中一条边的最值，所谓一叶落而知天下秋，诚如是也。

下面来解决第二个难点，√3/2KG如何转化成某条线段。

我们在学习三角函数时，在含30°角的直角三角形中，长直角边和斜边之间的数量关系恰好是√3：2的关系，由此联想到，构造一个以KG为斜边的含30°角的直角三角形，那条长直角边不正是我们需要转化的结果吗？

过点K作KM∥AC，过点G作GM⊥KM，如下图：

于是在Rt△KMG中，∠MKG=30°，因此KM=√3/2KG，现在我们再来观察结论中的线段和，变成了PH+HK+KM，其中点P已经是定点，而点G也是定点，连带着GM所在直线为定直线，联想到点到直线的距离，即垂线段最短，当P、H、K、M在点P到直线GM的垂线段上时，它们的和最小，如下图：

PM的斜率与直线AC相同，而在前面准备工作中，我们可以求出AC的解析式为y=√3x+2√3，因此可求得PM的解析式为y=√3x，咦？恰好经过原点，K与O重合，意外发现。剩下的计算就简单多了，PM=OP+KM，OP易求，为4，KM=√3/2KG=6，于是PM=10，此时点H坐标为(1，√3)；

(2)此小题的阅读理解难点在于抛物线沿射线AC方向平移，在没有学习向量的初中生来看，抛物线的平移可以看成顶点平移带动整个抛物线，因此可以只关心顶点如何平移，即理解成顶点D沿射线AC方向平移。

沿AC方向又是什么鬼？

不妨过点D作AC的平行线，点D'一定在这条直线上，以方便我们表示，直线DD'可求得为y=√3x+5√3/4，于是D'(d，√3d+5√3/4)，平移后的抛物线顶点式为y=-√3/4(x-d)²+√3d+5√3/4，既然它经过原点，就把(0,0)代入，求得d=-1或5，显然d=-1不符合，于是D'(5，25√3/4)，如下图：

至此，问题转化成等腰三角形存在性，两定点为C和D'，则线段CD'面临为腰或为底两种选择，下面我们利用尺规作图来探索等腰三角形存在性，在此之前先求出CD'²=1267/16：

①以点C为圆心，CD'为半径作弧，交对称轴x=1于N点，可以看出，这样的N点有两个，当作CN⊥DQ时，这两个点关于CN轴对称，所以只需求其中一个即可，如下图：

在Rt△CNN1中，CN1²=CD'²=1267/16，而CN=1，可求得NN1²=1251/16，于是得到N1(1，(8√3+3√139)/4)，同理得到N2(1，(8√3-3√139)/4)；

②以点D'为圆心，CD'为半径作弧，交对称轴x=1于N点，可以看出这样的N点同样也有两个，分别是N3和N4，当作D'N⊥DQ时，它们关于D'N轴对称，仍然只需求其中一个即可，如下图：

同样利用Rt△D'NN3，过程不再重复，结果为N3(1,(25√3+√1011)/4)，N4(1,(25√3-√1011)/4)；

③作线段CD'的垂直平分线，交x=1于N点，如下图：

利用解析法或几何法均可较容易得到，只是计算结果数字偏大，为N5(1,641√3/136)；

综上所述，满足条件的N点有5个，分别为N1(1，(8√3+3√139)/4)，N2(1，(8√3-3√139)/4)，N3(1,(25√3+√1011)/4)，N4(1,(25√3-√1011)/4)，N5(1,641√3/136)

解题反思

考题源于教材，从最基本的两条线段和最值（利用轴对称）发展成三条线段和最值，再将其中一条线段拓展成倍数关系，虽然思维难度增大，但核心依然是线段和最值。对于抛物线平移，揪住最根本的顶点，了解它的动向，自然对整个抛物线平移了如指掌。而等腰三角形的存在性探索，则和平时尺规作图是否认真学习息息相关。当然，最后一题，在计算结果中，数字较大，对学生计算能力有一定要求，也打破了压轴题结果数字太“常规”的限制。

对教学的指导意义在于，数学核心素养一定要根植于每节课，从学生长远利益来看，夯实基础比花样百出的解法套路更值得投入，常规常法依然是解题教学的重中之重。