几何动点类问题中,经常会出现伴随运动的现象,即另一个点与动点之间存在强联系,例如将已知动点平移一定距离后得到新的动点,然后探索新动点的轨迹。其实新旧两个动点之间,如果仅仅是平移联系,那么相对比较容易确定它们的运动轨迹,而在此基础上探索线段变化,则必须找准动点到底怎么动。原动点轨迹清楚了,新动点轨迹自然也明白了。
题目
如图,在⊙O中,弧AB所对的圆心角∠AOB=108°,点C为⊙O上的动点,以AO,AC为边构造平行四边形AODC,当∠A=_______°时,线段BD最长。
解析:
关注线段BD的两个端点,其中点B是定点,点D是动点,而根据所构造的平行四边形AODC来看,点D其实是将点C向右平移了OA的长度,即半径,意味着CD长度不变,题目中的叙述中,点C是动点,则点D伴随点C运动。要弄清点D的运动路径,那还是得从点C下手。点C在⊙O上,那么点D也应该在某个圆上,如下图:
特别地,这个点D所在圆,圆心恰好在AO延长线与⊙O交点处,于是点D所在圆与⊙O是等圆,现在问题转化成了求新圆上某点到点B距离最大值。我们将这个新圆画出来,再观察点B与它的位置关系,如下图:
从图中可知,当BD经过圆心E时,BD最长,此时∠A=∠DOE,从∠AOB=108°,且△OEB为等腰三角形,可求得∠OEB=54°,而它恰好是△DOE的外角,于是∠DOE=27°,即∠A=27°.
解题反思:
运动轨迹,对于初中学生来讲,一直都是难点,难在图形的变化,学会将变化的根源找到,然后寻求动点之间的关联,也是一种基本解题思路,即谁在动,怎么动,谁又跟着动,怎样跟着动等等。事实上,最终落脚点仍然是几何基本概念的理解,例如本题中的圆外一点到圆上一点的距离最远。因此,无论是中考备考复习,还是平时新授课教学,对几何基本概念的剖析深度决定了学生的理解程度,而学生的理解程度则直接影响考试读题。功夫下在平时,这句话一点都没错。
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