例题:(初中几何证明题)如图,在四边形ABCD中,已知AB=AD,AC与BD交于点E,∠ADB=∠ACB.若AB⊥AC,AE:EC=1:2,求证:AC=BD.
这是一道证明线段相等的题,此题中给出图形不复杂,已知的条件比较分散,它们之间的联系不容易看出来,很多学生还作了辅助线,但是依然无法得出结论,甚至连班上的学霸也无能为力。其实这道题确实有一定的难度,此题的考查知识点主要有相似三角形的判定与性质,含30度角的直角三角形的性质等。
在做题时,必须认真分析给出的条件之间的内在联系,灵活运用有关定理进行分析,推出有用的结论。解决此题的关键是证出△ABE∽△ACB,以及在Rt△ABC中利用边长求得∠ACB=30°,再利用线段相加可得出结论。下面,猫哥就与大家一起来解决这道例题吧!
证明:∵AB=AD,
∴∠ADB=∠ABE,
又∵∠ADB=∠ACB,
∴∠ABE=∠ACB,
又∵∠BAE=∠CAB,
∴△ABE∽△ACB,
∴AB/AE=AC/AB,
即AB^2=AE·AC,
设AE=a,
∵AE:EC=1:2,
∴EC=2a,AC=3a,
∵AB^2=AE·AC,(已证结论)
∴AB= √3a,
又∵BA⊥AC,
∴BC=2√3a,(由勾股定理求得)
∴∠ACB=30°,(含30度角的直角三角形的性质)
又∵∠ADB=∠ACB=∠ABD,
∴∠ADB=∠ACB=∠ABD=∠CBD=30°,
∴AD∥BC,BE=CE,
∴∠DAC=∠ACB=30°=∠ADB,
∴AE=DE,
∴AE+CE=BE+DE,
即AC=BD.
(完毕)
温馨提示:此文是原创作者猫哥一字一句打出来的,文中难免会出现一些小错误,还请大家谅解!数学世界不追求高难度题目,但一定是经典题型,希望大家喜欢。另外,若朋友们还有不明白的地方或者有更好的解题方法,欢迎留言参与讨论。谢谢!
联系客服