浅析一道新编考试题

题目如下：如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=，点D为平面内一点，不与B、C重合，且∠ABD=∠BCD，将点A绕点D逆时针旋转90°至点E。

（1）证明：BD⊥DC

（2）证明：BE∥CD

 

（4）取CD的中点M，求线段EM的最小值？

这道题为好友编写！他热爱数学，功底极为深厚，高难度问题往往高屋建瓴，解题视角独特，可轻松化解！很难想象，他只是90后！这个题是作为内部老师基本功测试考查编写，平均得分率不到4％，满分的没有！闲暇之余，对这个题，做了初步解析！

（第一问）：第一问较为常规，导角处理即可。因为∠ABC=90°，所以∠ABD+∠DBC=90°，因为∠ABD=∠BCD，所以∠BCD+∠DBC=90°，所以∠BDC=90°，所以BD⊥DC

（第二问）：要证明BE∥CD，只需证明∠EBD=90°或者∠E+∠EDC=180°即可！分析题目基本图形：△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，可考虑构造“弦图结构”或者“旋转全等或相似”处理，如下图所示：

（方法1）：如上图所示，过点A做AF垂直BD，交BD延长线于点F，易得△CBD≌△BAF，则BD=AF，因∠ADE=90°，

所以∠1+∠2=90°，易得∠1=∠DAF，又DE=DA，

则△EDB≌△DAF，则∠EBD=∠BDC=90°则BE∥CD

（方法2）：如下图，取DF=DB，易得易得△BDA≌△FDE，

则EF=AB=BC，且EF⊥AB，所以EF∥BC，

则四边形BEFC为平行四边，则BE∥CD

（方法3）：如下图，取AC中点F，连BF，DF，AE，易得

△ADF∽△AEB，则∠1=∠2，因为∠BFC=∠BDC=90°

所以BCFD四点共圆，所以∠1=∠DBC=∠2，

则∠EBD=∠BDC=90°则BE∥CD

反思：第一问相对基础，第二问和第三问难度陡然提升，思维量和综合度较大，对知识点的理解深度及知识点的迁移转化和灵活运用能力要求较高，第四问难度也是在增加了一个等级！总得来说，作为老师基本功检测试题，是一个好题！

（因水平有限，文中有不当之处请读者在留言区讨论或加下面的群讨论赐教．）