一种解决不等式恒成立问题的方法

不等式恒成立问题是导数大题永恒的主题, 主流的方法就是两种：分离参数法和分类讨论法. 

今天讲一种奇特的方法------同构法！！！

那么什么是同构法呢？

Part1同构法

在导数大题中, 经常出现两种函数: 指数函数  和对数函数 . 他们俩有很多结构实际上是同一表达式, 比如:  和 , 这是两个不同的函数, 但是如果令

则第一个式子  就可以改写为

这就和第二个式子  表示同一个函数了, 也就是说  和  是同构式.

同样的,  和  也是常见的同构式.

Part2常见的同构变形

Part3典型例题

1例题 

对于任意实数 , 不等式  恒成立, 求  取值范围.

如果利用传统的分离参数法, 你会发现根本分离不了, 那么如何使用同构法来求解本题呢?

Solution

可以把

变形为

即

为了凑同构式, 要把两边同时乘以 , 即可得到

这样目的就达成了!

什么？你没有看出来？那我再把上面的式子变形一下

可设

则上不等式变成

剩下问题就是搞清楚  的单调性了!

0' data-formula-type='block-equation'>

所以  在  上单调递增, 于是

即

再令

则

所以

于是

点评

初次接触这种方法的同学可能会有很多的问号, 怎么通过几次简单的变形, 就把一个复杂的恒成立问题转化成简单函数的最值问题？通过刚刚的例题, 你会发现关键问题在于找到同构式, 从而把问题转化为另一个简单函数的单调性问题!

所以记住

1.  和 
2.  和 

这两组同构式, 往上面去靠, 就会发现这个构造也不是那么难得想了.

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2例题 

已知函数 , 若不等式  在  上恒成立, 则实数  的取值范围为_____.

本题貌似可以分离变量来处理, 利用不等式 

当且仅当  等号成立, 可以得到

可是右端函数的最值看上去不是那么容易得到, 所以分离变量是解决不了问题的.

Solution

依题意得

移项得

牢记两个同构式, 怎么构造就一目了然了.

即

构造函数

不等式变成

于是

<section role="presentation" data-formula="g" (x)="e^x-1" '="" data-formula-type="block-equation">

所以  在  上单调递增, 注意到在  上 , 所以

于是

所以

点评

很多时候我们都希望一个分离变量解决问题, 但是更多时候不能分离变量, 即使能分离变量, 右边也是一个极其复杂的函数, 难以求解最值.

所以此类问题的常规做法基本是分类讨论, 但是很多同学一涉及到分类讨论就头大, 讨论半天把自己讨论晕了的现象层出不穷, 所以找机会, 我好好讲讲如何分类讨论.