朋友发来的一道初中数学题，做了两小时也没做出来[我想静静]在线求答案。现在中学生的数学都这么难吗？有没有数学专业的朋友，请指教一二[我想静静]

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如图所示，设点P为△ABC内一点，∠PBA=10°，∠PCB=30°，∠BAP=20°，∠CBP=40°，求证：△ABC是等腰三角形．

分析 由∠PCB=30°联想到等边三角形，将△BPC沿着PC翻折到△DPC的位置，连接DB、DP、DA，易证△DCB是等边三角形，由此可得到∠PDB=∠PBD=20°=∠BAP，从而可得A、P、B、D四点共圆，根据圆周角定理可得∠ADP=∠ABP=10°，由此可得到∠ADB=30°=∠ADC，从而可证到△ADB≌△ADC，则有AB=AC．

解答 证明：将△BPC沿着PC翻折到△DPC的位置，连接DB、DP、DA，如图，
根据轴对称的性质可得：PD=PB，CD=CB，∠DCP=∠BCP=30°，
∴∠DCB=60°，
∴△DCB是等边三角形，
∴∠DBC=∠BDC=60°，DB=DC，
∴∠PDB=∠PBD=∠DBC-∠PBC=60°-40°=20°，
∵∠BAP=20°，∴∠PDB=∠BAP，
∴A、P、B、D四点共圆，
∴∠ADP=∠ABP=10°，
∴∠ADB=∠PDB+∠ADP=20°+10°=30°，
∴∠ADC=∠BDC-∠ADB=60°-30°=30°，
∴∠ADB=∠ADC．
在△ADB和△ADC中，
⎧⎪⎨⎪⎩AD=AD∠ADB=∠ADCBD=CD$\{\begin{array}{l}AD=AD\\ \angle ADB=\angle ADC\\ BD=CD\end{array}$，
∴△ADB≌△ADC（SAS），
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形．

点评 本题主要考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、四点共圆的判定、圆周角定理、等腰三角形的性质、轴对称的性质等知识，有一定的难度，由30°角联想到等边三角形是解决本题的关键．

题目内容

已知：如图，点P是等边三角形ABC内一点，，求∠BPC的度数．

• 试题答案

解：以BP为边作等边三角形BPD，连接AD，
则BD=BP=DP=，∠DBP=∠BDP=60°，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠ABC=60°，
∵∠ABD+∠ABP=∠CBP+∠ABP=60°，
∴∠ABD=∠CBP，
在△ABD与△CBP中，，
∴△ABD≌△CBP（SAS），
∴∠BPC=∠BDA，AD=PC=1，
在△ADP中，∵PA=2，PD=，AD=1，
∴AP²=DP²+AD²，
∴△APD是直角三角形，
∴∠ADP=90°，
∴∠ADB=∠ADP+∠BDP=150°，
∴∠BPC=150°．
分析：以BP边作等边三角形BPD，连接AD，根据等边三角形的每一个角都等于60°推出∠ABD=∠CBP，然后利用边角边证明△ABD与△CBP全等，根据全等三角形对应边相等可得AD=CP=1，对应角相等可得∠BPC=∠BDA，再利用勾股定理逆定理证明△ADP是∠ADP=90°的直角三角形，从而求出∠ADB的度数，即∠BPC的度数．
点评：本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，勾股定理逆定理，作出辅助线，把PA、PB、PC的长度转化为一个三角形三条边，构造出直角三角形是解题的关键．