这是深圳市的中考数学选择压轴题,这道题综合了几何中轴对称、等腰三角形、三角形面积和直角三角形的知识,主要是要判断正确结论的个数,这样的题目还是比较麻烦的。
如图, 矩形纸片ABCD中,AB=6,BC=12. 将纸片折叠,使点B落在边AD的延长线上点G处,折痕为EF,点E、F分别在边AD和边BC上。连接BG,交CD于点K,FG交CD于点H。给出以下结论:①EF⊥GB;②GE=GF;③△GDK和△GKH面积相等;④当点F与点C重合时,∠DEF=75度,其中正确的结论共有( )
A. 1个; B. 2个; C. 3个; D. 4个
分析:结论①根据折叠部分与原图形关于折痕轴对称轴,而B点和G点是轴对称的对应点,结合对应点间的连线与对称轴互相垂直,可以确定EF⊥GB,正确.
结论②一般会通过连接BE,证明四边形AEGF是菱形来确定GE=GF. 但这其实不是最简便的方法。还可以利用“一边'三线合一’的三角形是等腰三角形”来证明。
说是“三线合一”,其实只要两线合一就够了。因为BF=GF,它们是折叠的对应线段相等,所以∠BGF=∠FBG,依据是“等边对等角”。又AG//BC,这是矩形的性质,所以∠EGB=∠FBG,它们是平行线间的内错角。从而∠BGF=∠EGB,即BG平分∠EGF。加上结论①,就有EF边上角平分线和高重合,因此三角形EFG是等腰三角形,GE=GF. 结论②也正确。
结论③可以运用反证法,证明是错误的。若△GDK和△GKH面积相等, 由于它们有相同的高GD,所以DK=KH。即GK是DH上的中线,又GK也是三角形DGH的角平分线,所以三角形DGH是等腰三角形,DG=GH。然而GH是直角三角形DGH的斜边,这就与“直角三角形斜边最长”的定理矛盾!所以结论③错误。
结论④按道理是要画图形的,但这样会很花时间,所以要尽量不画图也能完成。我们也可以尝试用反证法来证明它是错误的,当然它未必是错误的。
若∠DEF=75度,则在等腰三角形DGH中,顶角∴∠DGH=180度-2×75度=30度。那么在直角三角形DCG中,就有CD=FG/2。而CD=AB=6,FG=BC=12,这样是符合的,因此不能证明结论④错误。严格来说,也不能证明结论④是正确的。因此需要重新证明。(不要嫌烦,考试的时候要善于分析,没有几个人能够每次都能迅速找到最简便的方法)
当点F与点C重合时,HD=CD=AB=6,FG=BC=12,
在Rt△CDG中,CD=FG/2,∴∠DGH=30度,
∴∠DEF=(180度-30度)/2=75度. 因此结论④是正确的。
一共有三个结论是正确的,所以选C。
结论④的图形如上图。虽然考试为了节省时间,争取不用画图,但是平时练习还是要画一画的。特别是老黄讲题,更应该画出来,帮助那些理解有困难的小伙伴!
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