设整数
的每个数写在不同的卡片上,然后他将这
证明:至少有一堆中包含两张卡片,使得这两张卡片上的数之和是一个完全平方数。
首先应该从最简单的情况进行考虑,而不是一开始就分析所有的完全平方数。我们应该考虑一种退化的情况,也就在
这些数中,是否存在三个数
从而此题的重头戏在于从
这些数中,构造出三个数
构造方式可能不唯一,但我们需要找一种最利于我们证明的构造方式。仔细思考,如果反过来找三个完全平方数,让它们成为三个数
这些数中。从而,我们选择三个连续的完全平方数,是最利于我们构造的。
以上是解此题的详细思路,希望读者在阅读以下解答之前可以自己尝试一下。下面给出此题的详细解答。
对于给定的正整数
(见附证)。此时,考虑三个正整数
由
也就是说
中的三个不同的数。而它们两两之和为完全平方数,即
从而,若把
附证:设正整数
证明:
考虑所有形如
的区间,
由
也即
从而
证毕!
这是本次 IMO 最简单的一道题,我也是花了不到半小时解决的。 其实,这道题只要能够想到构造三个数
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