No.201 绳子绷紧为啥会产生热量?这应该是最接地气的解释啦!
说到产生热量,很多同学第一时间会想到的是“摩擦生热”,其次是想到“燃烧现象”,亦或有些同学会想到人体消耗生物化学能产热等。但在高考物理中,经常会遇到绳子绷紧时,损失机械能的情况。这时,不少参考资料或老师这样解释:绳子绷紧的瞬间,损失的机械能转化为了内能(热量)耗散掉了。如下常见模型:上图的平抛小球,在绳子绷紧的瞬间,沿绳方向的速度瞬间消失,机械能减小。我们往往把这类损失归结于绳子绷紧产生了热量。
那么,我们如何理解绳子绷紧会产生热量呢?产生的热量或损失的机械能大小又有怎样的特点呢?我们不妨从下面一个常见的例题开始。例题:一根质量为 的质量分布均匀的绳子,长度为 ,自然堆放在光滑的水平面上,现用一竖直向上的力 以恒定速度 匀速提起绳子的一端,求绳子被完全提起的过程中 所做的功。对于这道常见习题,首先要吐槽下错解,该错解广泛分布在各种参考资料,甚至部分老师的课堂中,错解如下:从功能原理的角度分析, 所做的功,转化为了绳子的重力势能和动能,即增加的机械能,故:看似很有道理,实际上却忽略了一部分能量,即该过程中产生的热量。从定性角度感受,绳子的每一小段,速度从0变为 ,类似于发生了完全非弹性碰撞,类比应该要产生能量损失(热量)。那么,到底产生了多少热量(损失了多少能量)呢?我们不妨再换个角度来计算 所做的功,这次我们直接进行计算。因为绳子被匀速提起,故可以判断拉力 的大小不断改变。而拉力的大小由两部分构成,一部分是已经提起那部分绳子的重力(假设已经提起绳子的长度为 ): 另一部分为使得即将离开桌面的一小段绳(绳元),速度从0增加到 所对应的“冲力”。假设这一段极短的绳子质量为 ,在极短的时间 内被提起,完成速度改变,则:因为 ,故相比于上部分绳子给的“冲力” 太小,可以忽略。故对 用动量定理可得: 当然,这里的力随 线性变化,不喜欢积分的同学也可以用示功图求面积做,这里不再赘述。相比于第一种解法用功能原理计算,很显然直接计算多了 !绳子在初末状态所增加的重力势能和动能是确定的,第一种方法在计算绳子机械能增量方面没有问题。第二种方法在计算 变力做功也没有问题!那增加的 到底是什么呢?没错!这 的能量就是全过程中,绳子中产生的热量!!!等等,绳子最终获得的动能是 ,整个过程中产生的热量也是 ,即 。这个等量关系我们好像在哪里见过啊!有一足够长水平传送带保持以速度 匀速转动,现将一质量为 的物块无初速度轻放在传送带上。为了保证传送带一直匀速转动,需增加一水平方向的力 。求从开始到小物块与皮带相对静止的过程中,外力 做功为多少?该过程中产生的热量是多少?对于这道题目,相信每个同学都非常熟练了。显然,外力 做的功,并不等于物块动能的增量。则 我们可以看到外力做功并不等于物块的动能增量,而是多出了 。我们都知道多出的这部分功,就是小物块在皮带上滑动时,摩擦生热产生的热量。这个结论和绳子提起过程中产生热量的数值完全一致!!!这是巧合吗?我们能否用类比的方法,来理解绳子中产生热量的原理呢?杠精老师认为没得问题撒。首先我们看到传送带问题中,外力做功较多的直接原因是,皮带位移是物块位移是小物块的两倍,更深层次的原因是一对内力,因为发生相对位移,所以这对内力做负功,而这对内力做负功的值即为产生的热量。那么,绳子中的这对内力是什么?发生的相对位移是什么呢?我们不妨仍然以已提起 长度时,即将被提起的绳元 为研究对象。对于已经被提起的 长度绳子,在极短时间 内运动的位移为 ,而 并不是在做匀速直线运动,此处也可以类比于做了匀加速直线运动,发生的位移为 。我们可以清晰的看到,此时两部分的位移也存在类似于摩擦力做功中的二倍关系。所以在每一段 内,外力多做的功,大小都应该等于线元增加的动能,这里只不过把小物块和皮带之间的摩擦力,换做了绳子之间的拉力,同样是系统的一对内力。证明过程由读者自行完成,不再赘述。然而,我们在摩擦力模型中,已经知道产生的热量等于摩擦力乘以相对位移,这里绳中的拉力已经确定是这对内力,相对位移在哪里呢?这也是为什么很多同学,很难意识到绳模型中有能量耗散的原因所在!这里的相对位移就是上面所提到的 所造成的差值。上面已经提起的绳在同样的时间内,显然比即将提起线元位移大。这意味着,绳子被拉长了!这段拉长的距离就是相对位移!而一般情况下,绳子的形变量是极小的,远没有皮带上物块的相对滑动那么明显!这就造成了很多同学非常容易忽略这对内力做功产生热量的事实。综上,我们已经清楚了绳子绷紧过程中,产生热量的机制和传送带上物体相对滑动产热一致。都是因为系统内一对内力所作的功为负功,而负功的大小对应着系统内机械能的减少,即产生的热量多少。若把其余类似情况,均简化为匀变速运动,则内力与相对位移的乘积恰好等于动能增加的一半。至此,我们已经通过类比的方法,定性半定量地理解了为何绳子绷紧会产生热量,会造成系统机械能损失!
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