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丽贝卡·戈德斯坦 著 唐璐 译
选自《不完备性---哥德尔的证明和悖论》
老蝉原编录入 转载请在文首注明哲学园
老蝉按：这本小书购于7年前，一直没有看。网友转了一篇讲普林斯顿高研院和爱因斯坦的文章，机缘巧合，从书架中抽出了这本书。读后欲罢不能，直至凌晨1点多。
第一章的第一个亮点是：道出了目前流行的对哥德尔的一系列误解，包括他的哲学与数学。最常见的就是对不完全性定理的相对主义、主观主义的理解---这是一种典型的后现代式理解。而我们知道，哥德尔是一位地地道道的柏拉图主义者，他信奉的是客观性和实在性，他证明不完全定理的动机正是出于要为自己的柏拉图理念做辩护而不是相反（书中作者观点），而不完全性定理的结论，在哥德尔眼里，恰恰好地又为他的理念做了脚注----存在真的但不可判定的命题（第一不完全定理）----这并不意味着后现代式的相对主义虚无理解：绝对真理是虚幻的，人们无法理解它们----而是恰恰相反：数学的形式世界存在为【真】的命题，它们是客观的，而我们恰恰可以理解它们----通过不完全性定理的证明，我们知道它们不可判定但却为真！这是多么奇妙而又合理！后现代理解显得多么弱智啊！
第二个亮点是作者频繁提到的元概念，老蝉对元思考也情有独钟，曾经写过一篇《对人工智能的元思考》（点击蓝字阅读）。元思考是一种突破性思考，是在更高一个层级上的思考，是跳出原有圃抑从外部审视的思考。在元思维中，可以避免盲人摸象的谬误，达至窥一斑而见全豹的境界。
这是一本难得的非主流观点的好书，是一位柏拉图主义作者对另一位伟大的柏拉图主义逻辑学家所作的发自内心真诚而又理性的精神素描。
这本书在市面上已断货，哲学园有电子版，如需阅读请返回到哲学园首页，回复“哥德尔”下载。当然，最好是看完下面的文章，比较长，耐心读完，定有收获。
作者前言：哥德尔对人们相互理解的能力不抱乐观态度。语言是我们交流的工具，而语言也的确是适应性的奇迹。它在语法和语义上是有限的，这对它的可被学习是必需的——不仅是对小孩子!——然而它又有着无限的生成能力。我们用语言所能描述的事物没有界限，我们所能生成的命题也没有限制。
然而，虽然语言有着无限的能力，哥德尔却认为，语言可以被证明是生硬而笨拙的工具。还在维也纳大学读书的时候，他就向一同参加传奇性的维也纳小组高级哲学讨论班的朋友透露，“我对语言思考得越多，我就越奇怪人们居然能相互理解。”
哥德尔想阐释的涉及他对数学哲学所持有的深刻信念；而这也是与语言的局限联系在一起的哲学。考虑到哥德尔对语言总体上的悲观态度，也许就不奇怪他在表述他的哲学信念时，会痛苦于语言的局限，并用他的数学天赋来克服。他杰出的成就正是将哲学蕴涵丰富的结论翻译成澄净透明的形式逻辑。然而，虽然他用严格的数学对两个不完备性定理的证明为他人所承认，哥德尔还是常常感到其哲学蕴涵——这也是他最为关切的部分——被误解了。虽然他进行了不懈努力，人们在相互理解时的困难仍然困扰着他。
哥德尔对我们相互理解对方的能力感到悲观，即便我们说同一种语言并生活在同一个国家。如果身隔万里，对世界和对方的理解是由完全不同的历史和文化所塑造，那么在进行对话或试图在深层次上交流时，又会有多少额外的困难呢。在试图扩展语言的适应性时我们时常依赖于隐喻，但是隐喻常常无法走得很远。有些描述依赖于理解通过某种隐含的方式X类似于Y，在领会它们时，经验的不同会导致严重的困难。因此经验的主观性使得相互理解甚至更为困难。
.....库尔特·哥德尔远比我认为他意识到的要成功。他杰出的数学结论等着我们所有人去理解，我们还沉思于它们的哲学意义。在分享这深刻的智识体验时，我们也在分享着某种超越一切外在局限的东西。
丽贝卡·戈德斯坦
马塞诸塞，波士顿
新泽西郊外的夏天快要结束了。一条僻静的小路上,两个人在散步,手背在身后,低声交谈着。浓密的树荫遮天蔽日,远处矗立着宏伟的老房子,路边榆树丛外蜿蜒着葱翠的高尔夫球道,隐约传来打球的人微弱的谈话声。
这里虽然看上去不起眼,却不是普通的郊外居民区---散布着乡村俱乐部,人们每天进城去获取财富。这里是新泽西普林斯顿,座落着世界上最伟大的大学之一,因此也拥有来源更多样的居民。两人在僻静小路上散步回家的这一刻,普林斯顿的居民甚至更具世界性,拥有许多因希特勒而逃离欧洲的最杰出思想家。一位美国教育家说:“希特勒摇树,我捡苹果。”-些最好的苹果结束飘零,来到世界的这个小角落。
因此这两位散步者用德语交谈也就不奇怪了。其中一位,穿着整齐的白色亚麻西服,戴着配套的白色软呢帽,只有30多岁,而另一位,裤子松垂,用老式吊裤带挂着,大约70来岁。虽然年龄相距甚远,说起话来却有如同辈,偶尔老者的脸会被逗乐得皱成一团,他摇着头,似乎对方谈论的事情wirklich verruckt,非常好笑。
在树荫浓密的小路尽头,与两人走的方向相反,高等研究院新建的那幢醒目的乔治时代风格红砖大楼矗立在宽阔的草坪上。研究院已有大约10年是在普林斯顿大学哥特式的数学楼里租的地方。但欧洲涌来的学术精英让研究院的声望大增,现在它搬到了距大学几英里远的地方,自己建了开阔的园区,有池塘和一小片森林,小径交织,在这里可以捕捉难以琢磨的思想。
20世纪40年代早期,高等研究院在美国已是个很不寻常的地方,拥有一些一流的思想家。研究院的建立源于一个人的远见卓识,这多少解释了研究院的独特。1930年,教育改革家弗莱克斯纳说服两位新泽西百货公司继承人,班贝格和他的妹妹福尔德夫人,建立一所新型研究院,以促进“无用知识的有用性”。在股市崩溃前几周,这两位零售业巨子将企业出售给了梅西公司;秉着博爱的心愿,他们拿着3000万美元找到弗莱克斯纳,向他请教,希望能将这笔钱用于改善人类心灵。
弗莱克斯纳
弗莱克斯纳这位东欧移民的儿子,多年前曾独力承担分析美国医学教育弊端的责任。世纪之交,医学院过多过滥,获得医学学位除了说明学位获取者交了学费,几乎说明不了什么。仅密西西比州就有42所医学院,芝加哥有14所。弗莱克斯纳报告痛陈积弊,由卡耐基教学促进基金会出版后,扭转了这一局面。一些太差的机构卷起铺盖,从此彻底消失。
班贝格和福尔德对他们以前的新泽西顾客们心存感激希望能回报他们。他们一开始想建医学院,因此派代表去和知道应当如何进行医学教育的人商谈。(弗莱克斯纳的哥哥是洛克菲勒大学医学院院长,他是弗莱克斯纳的偶像。)但弗莱克斯纳已经有了比让美国医生懂一点医学知识更为乌托邦的梦想。他的教育改革思想已经远离应用和实践领域,有了决定性的转变。他的理想是为最纯粹的思想家创造一个天堂,用坚实的红砖墙实现传说中的象牙塔:说白了,就是建立后来举世闻名的高等研究院。
在这里,被严格甄选的成员将像王子一般被对待,Reine Vernunft,纯粹理性王子。他们将有丰厚的报酬(因此有人调侃这里是“高薪研究院”),全部时间都可用来思考,没有备课和修改学生作业的负担—事实上是完全没有指导学生的负担。同时还不断补充有天赋的青年学者,后来被称为“临时成员”。他们会访问一到两年,用他们的能量、年轻和热情为迟暮的天才们注入活力。“这里将是学者们自由的社区,”弗莱克斯纳写道,“自由,是因为受学术目的驱使的成熟人士,需要不受干扰地去追求自己的目标。”应当提供简单宽松的环境,以及“最重要的,安宁——没有任何打扰,既不需要世人的关注,也没有关照不成熟学生的责任”。班格/福尔德本想将学院建在新泽西内瓦克,但是弗莱克斯纳建议他们,普林斯顿有着几个世纪的学术传统,而且安详静谧将更易于达到所期望的目的,賦予天才们自由。
弗莱克斯纳决定在数学的坚实基础上实现他的理想,用他的话说,数学是“所有学科中最严格的”。在一定意义上,数学是从所有学科中最大限度地除去“现实世界”的思想——在此语境下这个短语不仅仅意味着世事纷扰的实际世界。短语的意义还覆盖了物理存在的一切事物,除了思想、概念、理论——思维世界。当然,思维世界肯定可以涉及真实世界,典型情况就是这样;然而,在数学中这却不是典型。数学家,以他们极度的不近人情,可能不会喜欢(甚至痛苦于)被公众过多地关注;但是在那些生活在思想中的人当中,他们又被投以特别好奇的目光。这是他们方法的严格性以及他们结论的确定性所导致的,正是这些独一无二的特性让他们基本上没有什么用处(“没有用处”在此意思是,数学知识,就它本身而言,没有实践意义,不能改变我们的物质条件,或好或坏)。
数学的严格性和确实性来自演绎,意指数学家从不借助任何观察来达成他们的数学洞察①,这些数学洞察,就它们本身而言,也不需要观察,因此任何经验都削弱不了我们据以认识它们的基础。任何经验都不能用来作为根据改变,比如说,5+7=12。如果我们将5件东西和7件东西加起来得到了13件东西,我们就会重新数一遍。如果再数了几遍还是13件,我们就会认为,要么是12件中的一件分成了两件,要么就是我们看到了重影或幻觉,再要不然就是我们疯了。是根据5+7=12这个真理评判计数经验,而不是反过来。
数学的演绎推理复杂,让人糊涂。但正是它让数学如此无可置疑,如此不容篡改:定理一旦被证明,就不可能被经验修正。大体上,数学的无懈可击正是来自演绎。在Reine Vernunft拱塔上,数学家们站在最顶端,他们的方法由理性构成,而且只包含理性;这就是为什么弗莱克斯纳认为他们的学科最严格的部分原因。
虽然数学家智高望重,资助他们相对来说却很划算,再借用一下弗莱克斯纳的话,只需“几个人,几个学生,几间房子、书籍、黑板、粉笔、纸和铅笔”就行了。无需昂贵的实验室、观测台或沉重的设备。数学家的所有设备都在他们的头脑里,这是数学就是演绎的另一种表述方式。弗莱克斯纳还有一个现实考量,就是数学对哪些是最好的几乎能完全达成一致。在所有学科中,唯独数学能基于无懈可击的演绎推理建立它的结论,正因如此,从事这个行业的人的排名也遵循几乎数学般的确定性。作为研究院的规划者,同时也是首任院长,弗莱克斯纳将能确切地知道该选哪些人。
①然而,这并不表明这些信念就是天生的,即我们与生俱来的。显然,我们必须首先获取这些概念,以及表示它们的语言,然后才能开始相信+=.天生是一个心理学概念,而演绎则是一个认识论概念,关系到这些信念如何被证明的方法,用来作为支持或反对它的证据。(注:这本书中将用到两种注释脚注作为本页思想的延伸,尾注则给出引用出处。)
他很快就放宽了条件,让最为理论的物理学家和最为数学的经济学家也加入进来。到1932年,他得意地宣布,他拥有了两位雇员,一位是普林斯顿大学的维布伦,最顶级的数学家;还有一位就是爱因斯坦,他几近让人崇拜的地位使他成了纳粹的明显目标。爱因斯坦革命性的狭义和广义相对论被德国科学家攻击为病态的“犹太物理学”的代表,被犹太人对抽象数学的愚蠢痴迷所败坏。甚至在种族灭绝计划实施之前,这位物理学家就巳被列在第三帝国的特别打击名单上。
可想而知,很多大学都迫不及待想将这位声望崇高的难民揽至门下。例如,地处帕萨迪纳的加州理工学院就急切地想招募他。但是爱因斯坦更喜欢普林斯顿,有人说因为这是第一所对他的工作表示出兴趣的美国大学。他的朋友用他们见多识广的眼光审视这所新泽西的最高学府,认为它从骨子里土里土气,问他说:“你不会是想自杀吧?”但是,在故土突然变得近乎疯狂的敌意时,也许普林斯顿及时而持久的友善就被证明是难以抗拒的。爱因斯坦向弗莱克斯纳要求3000美元作为薪酬,而弗莱克斯纳给了他16000美元。很快这个有着一头卷发的著名头脑就开始在郊区的人行道上散步了,结果至少有一次“司机突然认出这个沿着街道行走的漂亮老人后”把车撞到了树上。
其他欧洲来的杰出人物也跟着爱因斯坦陆续来到新泽西,其中包括耀眼的匈牙利学者冯·诺依曼,他将在研究院建造世界上第一台计算机,这使得那些认同弗莱克斯纳理念---让研究院不用去做任何“有用的”工作---的成员心生反感①。爱因斯坦还在盛年时②,就被尊崇为不朽的天才人物，因此几乎从他到达那天起,当地居民就称弗莱克斯纳建立的是“爱因斯坦研究院”。
显然,从研究院延伸出的林荫路上出现的两位散步者中的老人不是别人,就是这位普林斯顿最著名的居民,他的同伴表情严肃地宣称着什么事情,他听后脸上不时浮现出顽皮的微笑。这个年轻人,一位数理逻辑学家,对爱因斯坦的反应报以轻微而蹩脚的微笑,然后继续以惯常的精确演绎着他的思想推论。
他们每天的谈话主题涉及物理、数学、哲学和政治,在所有这些领域中,这位逻辑学家更多是用他的新奇、深刻天真和完全不着边际让爱因斯坦感到惊讶。1944年到1947年担任爱因斯坦助手,恩斯特·施特劳斯曾这样评价,他所想的一切都受一个“有趣的公理”支配。对每个事实,对于为什么事实是事实;为什么它必须成为事实,都存在一个解释。总结一下这个信念,就是世界上没有没理由的偶然性,没有不需要被假设的假设。恼羞成怒的父母会对倔强的孩子说:“为什么?我告诉你为什么,因为那是我说的!”这个世界却永远也不会用这种方式对我们说话,一次也不会。这个世界对它自己总有一个解释,或者就像爱因斯坦的同伴所表述的,Die welt is verninftig,世界是可理解的。这个论断与通常想法截然不同,它表现在“有趣的公理”的严格一致应用之中,也散布到这位逻辑学家头脑里的方方面面---从身体与灵魂的关系到全球政治再到高等研究院本身的政治。不过,这种与通常想法的分歧对他来说算不了什么。这就好像他头脑里的一条不成文法则:如果理性与常识相违背,那么……常识就不妙了!从长远的角度看,什么是常识,不就是庸常吗?
①根据研究院数学院的官方纪录,对于研究院越出纯粹理论工作王国的这第一次冒险,即使是那些十分尊重研究者本人的成员也批评这是“错位”。在冯·诺依曼去世后,这台计算机被悄悄地转交给了普林斯顿大学。
②许多当事人记述当他进人一个讲座或讨论班房间时就会出现“敬畏的静(同上,借用杜卡斯的话)。普林斯顿的哲学家贝纳塞拉夫在爱因斯坦时期曾是普林斯頓的研究生,他告诉我爱因斯坦有时常常去参加每周一次的星期五哲学讨论班,很少发言,但他只要出席就能让人感觉到。
不管是在他自己的年代还是现在,这个年轻人都不怎么为人所知。虽然他的研究成果以其特有的方式,同爱因斯坦的一样具有革命性,是上个世纪少数最为重要和严格的发现之一,这些发现的重要影响远远超出它们各自的领域,已经渗人到我们最基本的观念中。至少在数学领域,20世纪的前三分之一可以说是观念革命此起彼伏。在深深搅动了“精确科学”根基的理论大变革中,这个人的定理与海森伯的不确定原理(测不准原理)、爱因斯坦的相对论三足鼎立。三者仿佛把我们带入了一个陌生的世界,它们与我们以前的想法和直觉是如此不同,以至于近一个世纪后,我们仍在试图搞清楚我们究竟到了哪里。
这个人和他的研究成果是如此远离尘世,使他永远也得不到他在普林斯顿的同路伙伴所具有的那种声望,或不确定原理提出者那样的名气,后者在历史的此刻很可能是在为纳粹德国研制原子弹。爱因斯坦的同路伙伴是一位隐身的革命者。他是你很可能从没有听说过的最著名的数学家。如果你听说过他,也很有可能是把他与这样一类想法联系起来(虽然这不是你的错),认为他对理性、客观性和真理的事业具有颠覆性的敌意,不仅激烈地反对,还在数学上进行了结论性的质疑。
他就是库尔特·哥德尔,1930年,在他23岁时,证明了数理逻辑中称为不完备性定理的某种东西,让世界为之震撼一一其实是两个在逻辑上相关的不完备性定理。
逻辑学家和物理学家在每天往返普林斯顿高等研究院的路上
与大多数数学结果不同的是,哥德尔的不完备性定理并不是用符号或数字公式表述。虽然证明的细节艰深而富有技巧性,让人高兴的是证明的整体策略却不难。在所有让人眼花缭乱的公式结束后,两个结论可以用多少比较浅白的语言表述出来。《哲学百科全书》中“哥德尔定理”一文以对这两个定理清晰的阐释开始:
哥德尔定理通常意指以下陈述:
任何足以包含初等数论的形式系统中都存在不可判定的命题,命题既不能被证实也不能被证伪。(这个陈述有时候也被称为哥德尔第一定理。)
这个定理的一个推论是任何足以包含初等数论的形式系统的一致性不能在这个系统内部被证明。(这个推论就是哥德尔定理;有时候也被称为哥德尔第二定理。)
这稍微有些含糊的陈述是哥德尔年在维也纳发表的结果的简要阐释。(“Uber formal unentscheidbare Satze der principia mathematica und Verwandter Systeme I。”1930年11月17日收到稿件。)
虽然这些简单的陈述并不显山露水,不完备性定理却因它们所说的内容之多而很不寻常(也有其他原因)。它们属于被称为形式逻辑或数理逻辑的数学分支,在哥德尔的成果出现之前，这个领域曾被怀疑是不是属于数学①;现在它们所涵盖的远远超出了狭隘的形式领域,还研究真理、知识以及确定性的本质等这些大而棘手的问题。因为我们人的本质与对这些问题的讨论密切关联---毕竟,谈论知识就是在隐含地谈论认知的人---哥德尔定理似乎也对我们的思维所能是的---以及所不能是的---有重要的东西要讲。
左二为哥德尔
一些思想家已经在哥德尔定理中看到了后现代磨坊的优质谷粒,将绝对主义者过时的关于真理和确定性、客观性和理性的思维方式彻底磨碎。一位作者用生动的末世笔调表达了这种后现代情感:“对于数学,他(哥德尔)是魔鬼。哥德尔之后,数学不再仅仅是上帝的语言,也是我们能够破解,用来理解宇宙和一切事物的语言——它不再那么有效。这是我们所处的伟大后现代不确定性的一部分。”即便是我们思维的形式系统也不可避免地不完备,这表明不存在所有系统都可以依赖的不变基础。所有真理——即便看似确凿无疑,不存在一点修正可能的那些——本质上都是人构造的。事实上客观真实的绝对观念是社会虚构的神话。我们的认知思维并没有嵌在真理中,相反,真理的整个观念都嵌在我们的思维中,思维不自觉地服从于有组织的影响。认识论无非就是影响力社会学。这或多或少就是后现代版的哥德尔。
①在哥德尔出场之前,逻辑学家更多是哲学系的成员。普林斯顿大学数学系的逻辑学家科琴向我这样评价道:“哥德尔将逻辑放到了数学的版图上。现在每个著名的数学系都有研究逻辑的教员。也许只有一两个,但多少肯定会有一些。”(2002年5月)
对于人类思维的本质,另一些思想家则认为,哥德尔定理指向的是完全不同的方向。比如,彭罗斯在他的两本畅销书《皇帝新脑》和《心智之影》中认为,我们的思维,不管是什么,不可能是数字计算机,不完备性定理在他的论证中具有核心地位。他争论道,哥德尔定理所证明的是,即使我们在进行最为理论、最受限于规则的思考---也就是数学---我们也是在进行真正的发现过程,不可能被还原为可编入计算机的机械程序。注意彭罗斯的论点与前面那段后现代解读截然相反,他认为哥德尔的结果没有削弱我们的数学知识。哥德尔定理并不是表明人类思维的局限,而是表明人类思维的计算模型的局限(基本上这些模型都是将所有思维还原为规则依循)。它们并没有让我们陷入后现代不确定性的困境,而是否定了一种特定的思维还原论。
因此,哥德尔定理就好像是珍稀动物中的珍稀动物:是数学真理同时却又——虽然含糊不清而且富有争议——涉及人性的中心问题:是什么让我们之所以成之为人?它们是数学史上最引起话题的定理。虽然对于它们具体说了多少以及它们说的是什么还没有达成共识,却都同意它们说得极多,它们说的超出了数学,无疑进入了元数学,甚至更远。事实上,定理的元数学本质与《哲学百科全书》用(多少比较)浅白的语言陈述的那些事实紧密相关。“形式系统”、“不可判定”以及“一致性”的概念可能有点半专业,需要解释一下(读者不用担心这些对定理的简要陈述会导致理解困难);不过它们是元数学概念,对它们的解释(迟早会来的)不是用数学语言。哥德尔的定理是试图逃出纯数学的数学定理,它们是从数学内同时也是从数学外来陈述的,这是它们独特魅力的另一面。另一本很受欢迎的书,侯世达的普利策获奖图书《哥德尔、艾舍尔、巴赫》抓住了这一面。
元数学的前缀元(meta)来自希腊语,意思是“之后””,意指从外面来观察。针对一个认知领域的元观察是样的问题:这个领域的知识是怎么可能如它所是的?数学,正由于它的自成一格---最严格的学科---用演绎方法建立常常让人惊愕、却又无可置疑的结果,一直有力地向知识学者(即“认识论学者”)提出元问题,特别是它是怎么可能如它所是的这个问题。数学对其认知者来说有如天赐的神一般的绝对可靠性,被视为应被效仿的典范:如果在那里我们能做到,就让我们处处都做到①。这种确定性同时也是引人入胜的谜题:我们如何能做到这一点的,不管是在那里还是任何地方?像我们这样由进化蒙着眼睛晃荡出来的,怎么做到任何的绝对可靠的?为了领会这个谜,与格劳乔·马克斯的名言对比一下也许会有帮助,取他将不会加入任何会受像他那样的人为会员的俱乐部的意思。与之类似,有些人也担心,如果数学真那么确定,我们是如何能理解它的?我们如何能得以进入如此严格的认知俱乐部的?
①这种乌托邦式的认识论是世纪理性主义者的特点---笛卡儿(1596~1650)、斯宾诺莎(1632~1677)和莱布尼茨(1646~1716)。尤其是，斯宾诺莎和莱布尼茨相信有可能借用数学的标准和方法,将其推广到可以回答我们提出的所有问题:科学、道德、甚至神学,这样,一且出现了导致长时间而血腥的战争的这类神学分歧,理性的人就可以回应道:“来吧,让我们演绎推理一下,”
一个领域的元问题,比如关于科学、数学或法律,并不属于这个领域本身;他们各自并不归入科学或数学或法律。相反,它们被归入哲学问题,分别属于科学哲学或数学哲学或法律哲学。哥德尔定理是这个一般规则的迷人例外。它们既是数学也是元数学。它们的证明遵循严格的演绎,而建立的却又是元结论。就好像某人画一幅画来试图回答基本的美学问题;一幅表现美的一般本质的风景或肖像,甚至可能解释它何以能够打动我们。一个数学结果对于一般的数学真理的本质居然会有话要说,这真是惊人。
对于哥德尔和爱因斯坦来说,他们理论工作的中心就是物理学和数学各自应该被如何解读这样的元问题---这些知识的有力形式实际在做什么以及它们是如何做的。爱因斯坦对于物理学也有极强的元信念。详细地说,爱因斯坦和哥德尔的元信念都是着眼于这样的问题,他们各自的领域是否描述了客观实在——独立于我们的思维而存在---或者相反只是人们的主观映像,是社会共享的智识构造。
他们各自对这些元问题的强调本身就足以使他们与他们各自领域的大多数同行区分开来。两人不仅主要兴趣都在元层次上,更不同寻常的是,他们都想让他们的理论工作照射出元光束。事实上,哥德尔还在维也纳大学读书时,就有了这样的抱负,只投身于这类有更广泛哲学含义的数学。这真是一个让人敬畏的目标,在某种意义上是历史性的雄心壮志,而最让人吃惊的是他居然做到了。他终其一生追求这让人敬畏的抱负,也许限制了他所能做到的,但同时也决定了不管他做了什么都会很深刻。爱因斯坦虽然没有像哥德尔那样严格地限制自己,但也有同样的信念,即真正好的科学永远都关注更大的哲学问题:“完全可以想象,没有认识论的科学是原始和粗糙的。”
爱因斯坦与哥德尔之间的友谊至今仍然是富有传奇色彩又充斥各种猜测的话题。两人毎天跋涉往返于研究院,其他人则好奇地望着他们,惊讶于他们相互之间有那么多话可说。比如施特劳斯就写道:
说到普林斯顿时期的爱因斯坦就不可能不提到他与哥德尔之间那真挚而亲密的友情。他们是截然不同的人，然而不知何故,他们相互理解对方,而且相互十分欣赏。爱因斯坦常常提到他觉得他不能当数学家,因为有趣而迷人的问题是如此之多,你可能会迷失其中,找不到任何真正重要的东西。而在物理中,他能看到什么是真正重要的问题,能够凭借頑强的性格和毅力去穷追不舍。但是有一回他告诉我:“自从我遇到了哥德尔,我才知道在数学中也是一样。”当然,哥德尔有一个用来观察世界的有趣公理;即所谓的,没有什么是由于偶然或愚蠢所导致的。如果你认真看待这个公理,那哥德尔信仰的所有奇怪理论就会变得绝对必要。我试着挑战过他几次,从没有贏过。我的意思是,它们都遵循哥德尔的定理。爱因斯坦没有把这真当回事,事实上他认为这相当可笑。除了1953年最后一次我们见他,他说:“你知道,哥德尔真是完全疯了。”然后我问:“哦?他还能做什么更糟糕的事情?”爱因斯坦说:“他居然投了艾森豪威尔一票。”
施特劳斯的话引出了一个值得注意的问题,即这两人相互如何看待对方;尤其是,睿智的物理学家如何看待神经质的逻辑学家。施特劳斯写道,爱因斯坦“合群,快乐,充满欢笑而且具有常识”。而哥德尔“极为严肃,非常庄重,相当孤僻而且不相信常识可以到达真理”。
爱因斯坦给人的印象是头发凌乱、心不在焉、对世界政治大同抱有唐吉诃德式的想法,还有其他种种注定要失败的努力,一般不会被描绘为精明、善于处世之类的;不过,同哥德尔比起来,他就是这样。普林斯顿大部分人,包括哥德尔的数学同事,发现同哥德尔交流完全不可能,他用他那“有趣的公理”,让每次讨论和实际决策都急剧复杂化。数学家波莱尔在他的研究院数学院纪事里写道,他和其他人有时候“发现亚里土多德逻辑的继任者…·…相当令人丧气”。[最后,这些数学家解决了他们的哥德尔问题,不让他参加他们的会议,让他一个人一个部门:任何事情都必须在逻辑上严密的唯一决策人。
虽然普林斯顿的人都已见怪不怪,学会了对漠然(或看上去漠然)凝视虚空的那个人目不斜视,哥德尔却杵得几乎每个人都像陌生人一样,为谈话交流设置了可怕障碍。哥德尔沉默寡言,当他真说话的时候,说出来的更有可能是某种听起来不友善的东西。
约翰·巴克尔当时是位很有前途的年轻天体物理学家,在一次小型的研究院晚餐上,他被引荐给哥德尔。他称自己是物理学家,哥德尔唐突的回应是“我不相信自然科学“。
”哲学家托马斯·奈格尔也回忆有一次在研究院的小型聚餐会上坐在哥德尔旁边,并与他讨论心物问题,这是两个人都试图破解过的哲学坚果。奈格尔向哥德尔指出他的极端二元论观点(指灵魂与身体是完全分离的存在物)似乎很难与进化论保持一致。哥德尔表示自己不相信进化论,并说:“你要知道斯大林也不相信进化论,而他是个非常聪明的人。”好像这是他排斥达尔文学说的额外依据。
他这样说后,”奈格尔笑着告诉我,“我干脆认输了。”①
同样,语言学家乔姆斯基也说过谈话被逻辑学家突然中断的故事。乔姆斯基问他现在在研究什么,结果得到一个可能从17世纪莱布尼茨说过之后就再没人说过的答案:“我正试图证明自然规律是演绎的。”
三个杰出的头脑,在纯粹思想的世界里就像这个星球上的人在家里一样自在,就这样他们(还有更多人)在与哥德尔交流思想时还是碰到了难以逾越的障碍。
同样,在每天往返于研究院的路上,爱因斯坦也一次又一次面对着哥德尔的奇怪直觉,他彻底的“反经验主义”。不过爱因斯坦却始终如一地寻求获得这位逻辑学家的友谊。事实上,经济学家摩根施特恩②在一封信里透露(他还在维也纳就认识哥德尔):“爱因斯坦经常跟我说,他晚年时坚持找哥德尔做伴,是为了能和他讨论。有一次他对我说,他自己的研究已不再有多大意思了,他到研究院来仅仅是lum das Privileg zu haben,mit Godel zu Fuss nach Hause gehen zu dur fen”，即:为了能有和哥德尔一起走路回家的特权。虽然知道他们在各自领域元层次上有共同的兴趣,爱因斯坦虔诚的说明仍然让人觉得太过奢侈。
①一旦更多地了解了哥德尔的思维,他对进化论的敌意就变得完全可以理解了。像哥德尔这样的理性主义者希望消除偶然性和随机性,而自然选择却将随机性和偶然性作为基本的解释要素。在微进化层面上(代际变化):这个理论将随机突变和重组作为核心因素。在宏进化层面上(生命史中的模式),将历史偶然性作为核心因素,比如地质状况与气候的反复无常,或偶然性事件,像陨石撞击导致阳光被遮蔽,使恐龙灭绝,从而使老鼠之类的哺乳动物得以占据腾出来的生态位。(感谢史蒂芬·平克告诉我这个洞察
②摩根斯特恩也是从纳粹占领的奥地利逃到研究院的。虽然他是经济学家,他的研究却十分数学一同冯·诺依曼一样,他也是博弈论的创始人之一---这让他得以进入弗莱克斯纳的研究院”。
在哥德尔与母亲玛丽安的通信中(她留在欧洲),多次提到了爱因斯坦(这些信件告诉了我们很多关于他的东西,直到她1966年去世)。如果对于爱因斯坦来说,他晚年时去研究院仅仅是为了能与哥德尔一起走路回家的特权,对于哥德尔来说,则是全世界都完全没有其他人可以交谈,起码不能以他与爱因斯坦交谈的那种方式(如果想到哥德尔还有妻子,这种排他性就更让人印象深刻)。以至于,举个例子,1947年7月4日,他给母亲的信中提到医生要求爱因斯坦静养。“因此我现在相当寂寞,几乎同任何人都没有私人交谈。”
哥德尔获第一届爱因斯坦奖
对见证过他们深厚友谊的人来说,这是一个小谜团，一直都是。“我习惯于看到他们每天从福尔德楼走向奥尔登农场,”生于瑞土的波莱尔在他研究院的办公室里对我说,他来研究院比哥德尔稍晚一点。“我不知道他们谈些什么。很有可能是物理,因为你知道,哥德尔也对物理感兴趣①。他们不想同其他任何人谈。他们只想互相说话。”说完他耸耸肩。
要理解爱因斯坦与哥德尔的友谊,重要的是,在试图领会施特劳斯让人茫然的“不知何故他们相互理解对方”时不能简单停留在平常解释上,认为这两人是对方在智识上独无二的知己,或用逻辑学家王浩的话,他们组成了“本世纪最重要的“自然哲学家’的二元‘自然种,”。②除了如此排他性的成员资格,对将两人结合在一起的一切还有很多可说的。
①哥德尔发现了爱因斯坦广义相对论场方程的一个非常新颖的解,并在爱因斯坦70岁生日时给了他一个意外,在哥德尔的解中,时间是循环的。见第四章
②王浩(1921~1995),洛克菲勒大学的逻辑学家,一生致力于理解哥德尔的观点,包括从数学直觉的本质到灵魂轮回,根据相关资料撰写了三本书。
当然,有很多表面上的相似。比如说,他们都在中欧做出了最重要的成果,在德语区,他们也都被迫逃离那里。但起码在这方面,在普林斯顿的那段时期,爱因斯坦和哥德尔并不是唯一这样的。一个接一个的学者不得不从维也纳、哥廷根、布达佩斯逃往像帕萨迪纳和普林斯顿这样的地方。他们都是政治流亡,说同样的母语,并且发现自己漫步于新泽西美丽的乡村景色之中,这些事实显然不能解释他们之间的特殊关系,这种关系甚至让同他们一道流亡的人也觉得不可思议。
两人之间还有一些惊人的相似。比如说,两人在很年轻的时候就都做出了他们最重要的成果。1905年爱因斯坦26岁,那一年是他的奇迹年,当时他还是瑞士伯尔尼一个名不见经传的专利员,他发表了(狭义)相对论、光量子和布朗运动的文章,同时也完成了他的博士论文。哥德尔出成果(同样也是三个,不过第一不完备性定理的光芒遮住了另外两个①)的年龄还要早上三年。
比这些相同的经历更为重要的事实是,在甚至更年轻的时候,两人都曾想要进入对方后来选择的领域。哥德尔进入维也纳大学是打算学习物理。爱因斯坦一开始想成为数学家。两人看到对方时有种感觉,觉得如果自己真地那样选择了，就有可能成为对方现在的样子,这肯定会产生一种特别的吸引力。
将两人联系到一起的因素还远不止这些。我认为这两个“截然不同的人”之间的深刻理解和欣赏存在于他们革命性思想的最深层面上。他们是同志,在最深意义上的那种思想家的同志关系。两人都致力于理解实在,理解他们自己的工作与那个实在的关系,这种关系将他们置于与全世界的思想家群体的痛苦争执之中。
①他在1929~1930年间的另外两个成就是第二不完备性定理以及谓词演算的完备性.
人们可能会认为,他们都做出了如此革命性的成果,以至于他们各自的领域不得不被重新改造,并将这些成果置于中心,爱因斯坦和哥德尔最不可能有的感觉就是被排斥。被疏远、不满、被解雇、孤立,这种感觉只会是没有影响力或失败的人才会有。但是他们感到了被孤立,而且是以极为相似的方式,在他们领域的元层次上,可以解释为整体上意味着什么的那个层次。
在试图洞悉这让旁观者迷惑的友谊的内核时,我有一种感觉,爱因斯坦和哥德尔是在一场更大的流放中一同被流放,这种感觉远远超出了导致他们来到普林斯顿寻求庇护的地缘政治因素。我相信他们是一同被流放者,在最深意义上的思想流放。这似乎很奇怪,因为人们在盛赞他们的贡献,他们却成了智识上的被流放者。
他们共同的那种被孤立的感觉,为他们著名的友情提供了凝聚力,要完全理解这一点,就必须考虑到使他们与同行疏远的元信念。就更大的哲学问题角度而言,我们应当如何解读爱因斯坦的相对论和哥德尔的不完备性定理?这些人类思想中最杰出成果的创造者又如何解读它们?其他人呢?
哥德尔的不完备性定理,爱因斯坦的相对论,海森伯的不确定原理,这些独特的名字暗示的意味强烈,仿佛要将软的人的因素注入到硬科学中,甚至仿佛在暗示人的因素压过了那些严格精确的系统,数学和理论物理,用我们绝对的含糊性和主观性将它们玷污。“思想决定一切”,“人是万物的尺度”,这种信奉主观性超过客观性的推理模式,在20世纪知识与文化生活中,是决定性甚至支配性的思想风气。哥德尔爱因斯坦的工作,再加上海森伯的不确定原理,所有人都承认它们是革命性的,又被冠以这样暗示性的名字,因此常常被列在一起,作为现代思想赋予我们反对“客观性神话”最强有力武器之一。对三者的这种解读本身就是现代性神话的一部分,或者更精确点,后现代神话。
因此,比如说,在1998年备受好评的话剧《哥本哈根》中,剧作家弗雷恩不仅准确地表现了玻尔和海森伯反对物理学是对客观物理实在的描述,同时也错误地将爱因斯坦的相对论视为现代物理学在这个终极反对的方向上走出的第一步：
玻尔:它(量子力学)行得通,是的。但它的重要性还远不止这些。因为,你明白我们在那三年里做了什么吗,海森伯?一点也不夸张,我们把世界翻了个个儿。是的,听着,现在想起来……我们把人放回了宇宙的中心。在整个历史中,我们不断发现自已的位置被挪动。我们不断把自己驱逐到事物的外围。一开始,我们让自己只不过是上帝不可知目的的附属品,是跪在宏伟创世教堂中的小人物。然后,我们刚刚在文艺复兴中恢复了自己,人刚刚像普罗太哥拉宣称的那样,成为万物的尺度,我们就又被我们推理的产物推到了一边!当物理学家们建起了供我们景仰的伟大新教堂时,我们就又变成了侏儒;这个大教堂就是经典力学的定律,从永恒的开始它们就先于我们而存在,还要超过我们存在到永恒的结束。不管我们存在与否,它们都存在。一直到了20世纪初期,我们又突然被迫从跪着的地方站起来了。
海森伯:那是从爱因斯坦开始。
玻尔:是从爱因斯坦开始的。他证明了,测量---科学的整个可能性所依赖的测量---并不是具有不偏不倚的普适性的客观事件。它是一种人的行为,是从时间和空间中一个特定的观察点,从潜在的观察者的某个特定视角来进行的。然后,在哥本哈根,20年代中期的那年里,我们发现,并没有可以被精确确定的客观宇宙。发现宇宙只能作为一系列近似而存在,只能处于由我们和它的关系所决定的限制之中,只能通过存在于人类头脑中的理解而存在。
同爱因斯坦的相对论一样,在20世纪反对客观性和理性学术革命中,哥德尔不完备性定理也被视为占据了重要地位。比如说,威廉·巴雷特写的很受欢迎的哲学书,1962年出版的《非理性的人:存在主义哲学研究》,出版时哥德尔还在世(我在进入大学之前的暑期指定读物)。在书中哥德尔被放在海德格尔(1889~1976)和尼采(1844~1900)这样的思想家一起,作为对我们关于理性和客观性的幻想的摧毁者:
哥德尔的发现似乎(比海森伯的不确定原理和玻尔的补充)具有更加深远的影响。在西方传统中,从毕达哥拉斯派和柏拉图起,数学作为理性所能把握的东西的楷模,本身一直是理性主义的中心堡垒。现在,哥德尔的发现却表明,即使在最精确的科学中,在理性似乎万能的这一领域,人也不能逃脱其本质的有限性:他构建的每个数学体系都注定是不完备的。哥德尔表明数学包含着不可解决的问题,因此决不可能成为一个完备的体系……数学家现在知道,他们是永远不可能到底的。事实上,也没有一个所谓的底,因为数学并没有任何独立于数学家所从事的人的活动的自身存在的实在性。
巴雷特正确地说明了(第一)不完备性定理,即数学永远也不可能被形式化为任何完备的系统。他从中得出的哲学结论与20世纪最流行的智识倾向也完全一致。因此如果读者知道哥德尔自己没有这种看法的话,可能会觉得吃惊。事实上,如果将“自身存在的实在性”前面的“没有”用“有”替换,我们就将得出哥德尔自己数学观点的准确陈述,这个观点激发了他所有的数学成果,包括他著名的不完备性定理。
虽然知识权威也许会把哥德尔解读为一场伟大革命的第一步,这场反对客观性和理性的革命是20世纪许多思想的标志,然而哥德尔自己对他的革命性成果却没有这样解读。对爱因斯坦来说也是一样。事实上,两人都是客观性的坚定信徒,而且将他们自己最著名的成果解读为对这种日渐没落的立场的正面支持。很多学术同仁可能已经完成了向主观主义者的转变,将相对论和不完备性定理这些伟大成就作为指引他们朝那个方向前进的路标,爱因斯坦和哥德尔却没有。
爱因斯坦和哥德尔都从根本上反对古代诡辩家的“人是万物的尺度”,一点也不认为这也许可能是对的。对两人来说,他们各自领域的方法---推理的复杂混合物,包含直觉知识以及推理(就物理来说,不仅仅是演绎,还有观测）---并不是由随意而为的规则集组成,这些规则集支配着精心构造的思维游戏或语言游戏,用其他规则集替代就会导致对实在不同的构造,但一样也能运作。不,对两位思想家来说,存在着引导我们超越个人经验限制的规则,让我们得以获知不这样做否则就不可能知道的实在的面貌。
爱因斯坦与他的科学同辈深深的孤立,同他脍炙人口的一生的许多其他方面一样广为人知(虽然可能很少被理解)。这通常被解释为他乖戾地拒绝承认量子力学的革命性进展所导致的,特别是其基本的随机本性,从中除不去纯粹的偶然因素。流传的关于他的故事是这样,年轻时用他的狭义和广义相对论实现了观念的革命,然后停滞了下来,像很多老人一样,思想变得保守,不能再包容下一代革命,即使这后来的革命就是他自己成果的逻辑延伸。这样讲述的爱因斯坦的故事也是20世纪智识神话的一部分。
然而这并不准确。爱因斯坦在科学上的孤立的核心是他对主观主义者的曲解,像剧作家让他笔下的人物宣称的“一切都是从爱因斯坦开始的”。爱因斯坦并不认为相对论指向了主观主义者对物理学的解读,相反,其指向的是完全相的方向。“相对性”,在爱因斯坦的理论中,并不是指测量(以及一切事物)是相对于人的观察位置,其指的是远比这个更为技术性和严格的东西①。事实上,对于爱因斯坦来说,跟随海森伯和玻尔这些人的主观性方向,就是对他理解的相对论最基本的元结论的否定。爱因斯坦将他的理论诠释为表现了时空的客观性本质,因此完全不同于我们人类对于时空的主观性视角②。爱因斯坦用优美的数学语言表示的理论,远不是要把我们复位到宇宙中心,用相对于我们经验的视角描述一切事物。其让我们窥见的是真正惊人的物理实在,惊人恰恰是因为这种物理实在完全不像我们对它的经验了解呈现给我们的那样。
①根据狭义相对论,对长度这类属性的测量是相对于一个特定的坐标系或参照系。但是将专业术语---坐标系、参照系---当作人的观察位置则完全是胡扯,我们可以选择不同的坐标系来描述物体的运动,根据相对论,所有坐标系都是等价的,谁也没有特权。在一个坐标系中,“观察者”(甚至不必是有意识的实体,因此也不用真地观测或者是能观测任何东西)可以是静止的;在另一个中他或她又可能在运动。虽然不是必需的,通常会选择相对于特定的观察者静止不动的坐标系。因此通常也(虽然不是必需的)会选择(举个例子)让地球在其中静止不动的坐标系。这样我们所有地球生物的运动,以及我们的观测位置就能相对于单一坐标系来描述,而地球在其中静止不动。
②在狭义相对论中,举个例子,时间并不流动,而是作为第四维,与空间一样是静止的。与之形成鲜明对比的是,我们的时间经验中最明显(并让人痛苦)的一面是它永不停息的单向运动,把我们带离过去,带向未来。
爱因斯坦有时候称客观实在为“视野之外”,由希尔普编辑的在庆祝物理学家70岁生日纪念文集中,他用他典型的自嘲式幽默写了《自述》①,在其中他清楚地将他对实在的这种信仰视为他作为科学家的一生的精神核心：
我很清楚,少年时的宗教天堂就这样失去了,这是使我自己从“仅仅作为个人”的桎梏中,从那种被愿景希望和原始情感所支配的生活中解放出来的第一次尝试。视野之外有一个广阔的世界,它独立于我们人类而存在,如同一个伟大而永恒的谜摆在我们面前,然而至少能被我们的观测和思维部分理解。对这个世界的沉思有如自由在召唤……在被允许的可能框架下对这个超越个人的世界的心灵领悟,作为最高的目标时隐时现地浮现在我心里……通往这个天堂的道路并不像通往宗教天堂之路那般舒坦而诱人;但是它已经证明自已值得信赖,我也从没有后悔过选择了它。
①“我已经67岁了,坐在这里,为了写点有些像自己悼词的东西,我这样做不仅是因为希尔普博士劝我这样做,而且我自己确实也相信,告诉正同我们一起奋斗的那些人,一个人是如何奋斗和追求的,其如何回顾自己的过去,这是件好事情。”
这是爱因斯坦作为一个科学家的信条的动人陈述,它也的确不能与他圈子里几乎其他所有杰出物理学家更不一致了①。爱因斯坦将物理学的事业理解为去发现让我们得以窥见处于我们经验“视野之外”的客观物质世界的理论。海森伯、丹麦的玻尔和德国的玻恩(也是量子力学哥本哈根诠释的主要拥护者),都以一场被称为“实证主义”的学术运动之名反对这样的观点。根据实证主义,任何想超越我们经验的企图都会沦为彻头彻尾的胡说。
在下一章,离开普林斯顿,去往奥地利维也纳,我们还会有机会更深入地了解实证主义,并分析产生出了可以说是反对实证主义的最重要学术反叛行为——哥德尔的两个不完备性定理——的环境。
实证主义,主要是由著名的维也纳小组的一群科学家、数学家和哲学家发起,受到了维也纳出生的伟大哲学家维特根斯坦的强烈影响,它是关于意义的严肃理论,宽泛地使用了无意义一词。具体说就是,它把任何在原则上不能用我们的经验内容验证的描述性命题②都打上无意义的标签。命题的意义是通过用经验验证来给定的(证实主义者的有意义标准)。
哥德尔同爱因斯坦一样,致力于超越我们的经验,越过实证主义者,去描述“视野之外”的世界。只不过因为哥德尔的领域是数学,所以他所感兴趣的“视野之外”是抽象实在的领域。他所信奉的数学实在的客观存在就是所谓的概念或数学实在论观点。这同时也被称为数学柏拉图主义,以纪念这位古希腊哲学家,他的形而上学强烈反对诡辩家普罗太哥拉的“人是万物的尺度”。
①举个例子,与海森伯的陈述对比一下:“认为存在一个客观实在的世界,其最小部分的存在就像石头或树的存在一样客观,与我们是否观察到它们无关这种思想是不能成立的。”
②描述性命题(描述性陈述)意指这样的命题,其真(或假)并不仅仅依赖于其意义。真值(真或假)由其意义就能决定的命题被称为“重言式命题”，有时也称为“平凡命题”。因此,比如说,“所有的双语者至少说两种语言”就是重言式命题,另一方面来说,一个描述性命题是否为真或为假不仅仅是由其意义决定,还要根据命题内容的事实来决定,因此命题“我说两种语言”为假就是根据其意义以及内容的事实。
柏拉图主义观点认为数学真理不依赖于任何人的活动,比如说形式系统的构造——包括它们的公理、定义、演绎规则和证明。根据柏拉图主义,数学真理是由数学实在,由实在的本性,通过抽象,构成实在的实体(数、集合等等)所确定的。比如说,对于数学实在论者,自然数(有序而古老的计数数:1、2、3,等等)的结构就不依赖于我们,就像时空结构对于物理实在论者一样;而数字4和25的属性---比如说,一个是偶数,另一个是奇数,两个都是完全平方数——就像光和万有引力的物理属性对于物理实在论者一样客观。
对哥德尔来说,数学是揭示客观数学的实在特性的手段,就像对爱因斯坦来说物理学是揭示客观物理的实在面貌的手段一样。对于当我们在做数学时我们是在做什么,哥德尔的理解可以模仿爱因斯坦的话来表达:“视野之外有一个广阔的世界,它独立于我们人类而存在,如同一个伟大而永恒的谜摆在我们面前,然而至少能被我们的观测和思维部分理解。”只是在这里,“视野之外”要被理解为不仅仅是去除经验主体,以及他作为人的视角,“视野之外”还超越了物理时空。它是纯粹抽象的实在,是普遍和必然真理的实在,我们的演绎推理官能(神秘地)给我们提供了通往这终极的“视野之外”的途径,得以至少部分窥见所谓的“极限实在”(用现在流行的电视节目命名方式:“极限生存”、“极限变身”、“终极极限”)。
哥德尔的数学柏拉图主义就其本身来说并非不同寻常。许多数学家都是数学实在论者,而且即使是那些自己不这样认为的人,一且直接逼问他们的数学立场,就会称他们的成果为“发现”,不自觉地滑入实在论①。杰出的英国数学家哈代(1877~1947)在他的经典著作《一个数学家的辩白》中表示自己是柏拉图主义的信徒,一点也不像是要辩白。
我相信数学实在存在于我们之外,我们的任务是去发现或观察它。并且,我们所证明的定理,我们夸耀称之为“创造物”的,只不过是我们的观察记录而已。自柏拉图以来很多享有盛誉的哲学家都持有此观点,虽然形式各异。我采用的语言对持有这种看法的人来说是很自然的……
这种数学的实在论观点比物理实在似乎更合理一些，因为数学的客体更接近他们所看到的。一把椅子或一颗星星一点都不像它们看起来的那样,我们对之想得越多,感觉的迷雾就越会使它的轮廓模糊不清。但是“2”和“317”与感觉无关,我们观察得越仔细,它们的性质就越清晰。也许现代物理学最适合于唯心主义哲学框架---我不相信这一点,但有些著名的物理学家是这么说的。纯数学在我看来倒是唯心主义的绊脚石:317是个素数,并不因为我们是这样认为,或是我们的思想是以某种特定的方式形成,而是因为它原本如此,因为数学实在就是这样建立的②
①有趣的是,即使对于希尔伯特,这也是真的,而他的形式主义与柏拉图主义是尖锐对立的(见第二章)
②哈代的经典著作的写作背景感人而且不寻常。哈代已经失去了他的数学创造力,这往往发生在数学家还较为年轻的时候。[一个40岁的数学家可能已经度过了他最好的岁月,这也就是为什么数学界声望最高的菲尔兹奖,只授予40岁或以下的人(没有诺贝尔数学奖)。]哈代试图自杀,但是幸存了下来,并听从斯诺的建议写了一本书,表白一个数学家的一生。其结果就是无与伦比的《一个数学家的辩白》。
柏拉图之后的三千年给了我们大量新奇而惊人的数学,但是并没有比这位古希腊哲学家自已所有的更多的理由来相信柏拉图主义。一个又一个数学家,比如哈代,验证了他们的柏拉图主义信念,他们是发现而不是创造出数学成果。但是,验证也就是我们所能得到的全部……直到哥德尔。哥德尔心怀远大抱负,他要让他得到的数学结论同时也是能支持数学实在论的元数学结果,这才是他得出不完备性定理的意图。
哥德尔的数学观念,他对客观、独立存在的数学实在的肯定,构成了也许他一生的精髓。有一点毫无疑问是真的：他的确很奇特。不是他的哲学见解表达他的数学,而是他的数学表达了他的哲学见解及柏拉图主义。柏拉图主义是这个人最深层的表达。因此他的成果,与爱因斯坦的一样,不仅被解读为与反对客观性的革命相一致,还被认为是最具说服力的武器之一,这就不是一点点讽刺了。
爱因斯坦在晚年是幸运的,他遇到了哲学兴趣相同的人,被流放的感觉得以缓解,虽然这人是反复无常而且古怪的哥德尔。摩根施特恩引用的爱因斯坦的话——他晚年时到他在研究院的办公室来仅仅是为了能有和哥德尔一起散步回家的待权——在元光束的映照下,就不那么令人吃惊了。
1955年爱因斯坦去世后,哥德尔在学术上被流放的感觉更深了;现在最能让他有深深认同感的是理性主义前辈莱布尼茨,而他已经死了差不多有三百年了。这位逻辑学家在对他“有趣的公理”的严格应用中得出的解释披上了永远神秘的面纱。穿着整洁白西服的年轻人更加消瘦,身子裹在厚重的外套里,即使在新泽西潮热的夏天也围着围巾,觉得周围充满阴谋。他开始相信,有一个巨大的阴谋,显然已经实施了几个世纪,想要压制真理“并让人变得愚蠢”。他相信,那些发现了演绎推理巨大威力的人,像17世纪的莱布尼茨和20世纪的哥德尔,都是被监控的对象。他与同辈人的完全孤立,甚至疏离,为从理性变得疯狂,变成偏执狂,提供了肥沃的土壤。
自亚里士多德以来最伟大的逻辑学家会坚信如此不合逻辑的结论,这让很多人觉得自相矛盾。但是,就像我希望在下一章阐释得更清楚的那样,哥德尔个性的内在自相矛盾至少部分是由外界对他的著名成果自相矛盾的反应引起的。他的不完备性定理广受赞誉同时又被忽视。它们的技术性内容改变了逻辑和数学领域;他在证明过程中使用的方法、定义的概念,导致了全新的研究领域,如递归论和模型论。而其他一些曾处于中心的研究领域则被放弃,特别是那些曾被希尔伯特(1862~1943)这位早哥德尔一代的最伟大的数学家肯定过的领域,已经因哥德尔定理而表明是徒劳。
然而定理在元数学上的重要性却被忽视了,而这对于哥德尔才是最重要的方面。更为荒谬的是,越来越活跃的文化潮流、掠夺性的后现代不确定性以及肆无忌惮的虚假神话,将他的定理与爱因斯坦的相对论一并铲起,重新解读,以至完全否定哥德尔以及和他一同被流放的难友曾如此热切想要证明的信念。
悖论,从原理上讲,是当思维被逻辑本身驱使,不得不做出自相矛盾的结论时的推理灾难。其中许多都是自指性的;困难来自一些语言学成分---一个描述、一个句子---潜在地指向自身。一个最古老的悖论就是有名的“说谎者悖论”，它可以被追溯到古希腊时期。①它产生自一个自指性句子:“当前这句话是假的。”与所有句子一样,这句话必定要么是真要么是假。但如果它是真的,那它就是假的,因为那就是它所说的;如果它是假的,那好,它又是真的,因为同样,它就是这么说的。因此,它就必须同时为真和为假,而那就是一个严重的问题。思维崩溃了。
与说谎者类似的悖论在哥德尔为他那非凡的第一不完备性定理所构思的证明中扮演了一个技术性角色。哥德尔能够自指的悖论性结构——考虑“当前这句话是假的”时导致们思维崩溃的这类结构---并将其变为对数学史上最惊人结果之一的非凡证明。②这本身看上去就几乎是个悖论。悖论常常好像是特意设计出来,好让我们相信,我们并没有聪明到可以处理把我们引向它们的那些主题。哥德尔将让智力受挫的悖论材料糅合进证明,给我们带来对真理、知识和确定性本性的深刻洞察。根据哥德尔自己对他的证明的柏拉图主义理解,这个证明表明,我们的心智在理解数学时,是在挣脱人为系统的局限,抓住独立的抽象实在的真理。
哥德尔的证明的结构,其对古老悖论的使用,在某种层面上嘲讽了,如果只是暗喻性的话,20世纪对自己讲述的关于它的一些最伟大的学术成就(当然,也包括哥德尔的不完备性定理)故事的自相矛盾。也许有一天某位思想史学家会解释上个世纪如此多最具影响的思想家,不仅包括哲学家,也包括最重要的科学家,如海森伯和玻尔,向主观主义者的转变。这个解释完全超出了本书的范围。不过我能做的是描述反对客观主义的这场革命对20世纪一位最伟大科学家产生的影响:它是怎样激起了他对不完备性定理的证明,后来它又如何重新解读这个定理来确证自己。
为了充分理解哥德尔的丰富意味和悖论,包括他的世界和他的成就,在粗略看过他和爱因斯坦在普林斯顿林荫路上的漫步之后,我们得回退两步。我们首先退回到20世纪20年代,他在维也纳的青年时期,世纪初期在知识和文化上对传统大肆攻击的场景;然后再退一步到世纪之交,当时从一个数学观念诞生了终结数学的计划,这个计划最终将覆灭,成为一位具有远大的元数学抱负、沉默寡言的青年逻辑学家的牺牲品。
①这里有一段文字提到了这个悖论的起源:“他们中的一个,甚至还是他们自己的一个先知,说,‘克利特岛人总是说谎。,……这个见证是真的。”(圣经提多书1:12~13)
②数学结论能让我们惊讶,这也许本身看上去就有点自相矛盾。世界相当能、也经常挫败我们的期望,我们与它的经验接触让我们直接意识到这些。但是通过纯粹演绎推理得出的结论怎么可能做到这一点呢?如果——根据定义---演绎的真理不受经验修正的影响,那就没有任何来自世界的意外经验会带来冲击。我们自己必须推理出挫败来,而这乍看上去很古怪。哥德尔冗长的第一定理同样也致力于这个元数学问题。对哥德尔来说,我们的公理只能不完备地描述独立的数学实在,将惊讶从数学的惊讶中去除了。
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