作者 | 张海潮（台大数学系退休教授）来源 | 数学传播 39 卷 1 期, pp. 63-65，好玩的数学感谢授权转载
《叹息》一书的作者 Paul Lockhart (简称 L) 是一个怪咖。他本来在美国布朗大学数学系任教, 公元 2000 年, L 突然决定离职, 自我“下放”到中小学去当老师。L 去的这间学校是纽约市布鲁克林区的 Saint Ann's school, 该校的学生从幼儿园到高三都有, L 在这里什么年级都教。
促成 L 下放的原因, 照 L 自己的说法是因为第一 ：L 觉得大学很腐败, 已经不是探讨学术的园地, 而沦为争名逐利的地方。第二 ：L 不再想教大学生, 因为从中学上来, 这些学生的数学已经毁了, 他们再也不能欣赏数学的真与美。
原来 L 认为数学, 正如音乐或美术, 是一种艺术, 并且是艺术最纯粹的形式 (the purest form of arts)。在《叹息》这本书一开始, L 虚拟了一个音乐家从恶梦中醒来, 他原本是为了音乐的真与美去学弹琴, 但是在音乐教育的过程里, 却被各式各样的符号和格式弄得倒尽了胃口。
L 又以美术教育为例来批判数学; 他说在一个美术课中, 老师一定会根据学生的特质个别指导, 对学生的绘画提供差异性的建议。并且, 几乎每一位美术老师都读过艺术史, 洞悉这门艺术近三百年的发展。但是谁都知道数学老师无论在差异性指导和对数学史的理解都不及格。
从艺术的角度审视数学的本质, 真与美, 或是检验数学教育的缺失——忽略学习者的想象力和差异性, 对我而言, 有如晴天霹雳, 觉得非常惭愧。
长久以来, 数学老师必须面对学习方的质疑, 到底学数学有什么用？数学老师也竭尽所能解释数学是多么有用。但是由于科技的进步, 基础数学的用处全都隐藏在高科技的底层, 表面上完全看不到。例如：三角函数之用于测量, 完全被雷射测距仪取代, 高中教材中所有有关测量的题目都变得十分勉强, 因为与现实生活脱节。
关于这一点, L 如何回应呢？L 认为：
一件事物如果有实际上的用途, 并不表示它的本质就是如此。音乐可以鼓舞军人上战场, 但这不是音乐的本质, 米开朗基罗为教堂装饰, 但他心中其实有更崇高的目的。
数学应该被当作艺术来教, 世俗所谓的“有用”, 是真与美自然引发的副产品。贝多芬当然能写出漂亮的广告配乐, 但是他们学习音乐的动机当然是为了创造美好的事物。
对于数学的真与美, L 举了两个例子。
第一个是下面这个图：
我们看到 , , , , 这个图告诉我们, 连续奇数相加会得到一个平方数, 图形所展示的是平方数如何分解,这是平方数的本质, 而图示的说明则用了最美的方式。
第二个是证明两直线相交, 对顶角相等：
图中有 a, b 两条直线, 传统的证法是看出 ∠1+∠3=180°, 并且 ∠2+∠3=180°, 所以 ∠1=∠2, 但是 L 认为 ∠1 是 a 和 b 的夹角，而 ∠2 是 b 和 a 的夹角, 这两个角之相等是 “天作之合”, 是 a 和 b 相交的本质, 其正确性有如3+5=5+3, 是左右对称, 也是上下对称。
几乎所有的人都想问 L：你为什么不早点告诉我, 数学这么好玩？这么有趣？L 的回答应该是：首先, 当你还是一个很小、很小的小孩子, 当你尝试用手指头计算每天吃的糖果的时候, 你就是一个 L 心中的数学家——尝试用数学来探索周遭有趣的问题。但是, 当你掉到了一些“数学老师”所布下的天罗地网时, 数学的真与美渐渐流失, 你必须背诵
以及它的变体
但是却不知道这么难看的公式是从何而来。你要怪谁？你的数学老师可能像你一样, 从来不曾领悟过数学的真与美。并且, 在一种武断而压制的教学中, 老师们仅有的“善”也丧失了, 于是, 他会说“你怎么这么笨, 连 都不会 ？”但是, 老师, 你可以告诉我为什么 呢？因为无知而失去了真, 因为庸俗而失去了美, 又因为专断而失去了善, 这就是现在数学教育的现场。
我因此推荐《叹息》给选我《数学思想通识课》的同学, 一位文组的同学读后写了份感想, 我转载一些与大家分享：
我非常讨厌数学, 讨厌到甚至是只要一讲到“数学”两个字, 就会开始掉眼泪。但是这本书, 却让我能敞开心房, 去接受数学。原来, 三角形面积公式：底乘高除以二, 竟然只是这么简单的概念; 原来, 半圆里的三角形, 它的顶点无论在圆周的哪里, 都是直角, 也是如此易懂的概念！以前我看到那些证明、公式, 总认为他们是妖魔鬼怪, 原来他们也可以这么纯粹、充满创意！
这本书, 可以说是数学教育的乌托邦。虽然我也知道, 这套教育理念要实现, 可能真的有它的难度存在。但是我仍希望, 这样的想法能够在台湾的教育界流行, 让数学老师发现僵化的数学教育并不可行。目前的方法——背诵大量公式、作大量困难的习题, 只会让学生更讨厌数学、更不愿意敞开心胸去接纳数学。若老师能重视带领学生思考问题的过程, 才可能引发学生学习的兴趣。
其实阅读这本书, 是让人难过的。因为想到自己的青春岁月, 就这样因为不适合的教育方式, 而无法好好的发挥自己的想法、无法尽情挥洒创意。把数学只是变成冷冰冰而死板的公式。最终, 无法在这样的体制下存活的脑袋, 只能选择关机、放弃。原本, 在高中毕业之后, 我就发誓这辈子再也不和数学产生任何瓜葛。但是在阅读完这本书后, 我改观了！数学应该是一个好玩的游戏, 作数学不需要上课或读书, 只需要充满想象力, 对世界充满好奇心。未来, 我想我会重新面对数学, 不会再认为数学差是因为自己太笨了！
亲爱的读者：这位同学并没有夸大其辞——数学教育真是积重难返, 苦海无边啊！
1. 这才是数学 : 从不知道到想知道的探索之旅 (Measurement), 保罗 拉克哈特 (Paul Lockhart) 着, 毕馨云译, 经济新潮社。http://www.books.com.tw/products/0010667435
2. W. Schmidt, Book Review: A Mathematician's Lament, Notices of AMS, April 2013, 461-462.
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