OWL

一、BFGS算法

      算法思想如下：

           Step1   取初始点

，初始正定矩阵

，允许误差

，令

；

           Step2   计算

；

           Step3   计算

，使得

                                              

；

          Step4    令

；

          Step5    如果

，则取

为近似最优解；否则转下一步；

          Step6    计算

                               

，

，

                        

          令

，转Step2.

优点：

1、不用直接计算Hessian矩阵；

2、通过迭代的方式用一个近似矩阵代替Hessian矩阵的逆矩阵。

缺点：

1、矩阵存储量为

，因此维度很大时内存不可接受；

2、矩阵非稀疏会导致训练速度慢。

 

二、L-BFGS算法

      针对BFGS的缺点，主要在于如何合理的估计出一个Hessian矩阵的逆矩阵，L-BFGS的基本思想是只保存最近的m次迭代信息，从而大大降低数据存储空间。对照BFGS，我重新整理一下用到的公式：

                                

     

                                

            

                                

                                

于是估计的Hessian矩阵逆矩阵如下：                         

                               

                                      

把

                               

带入上式，得：

                              

 

假设当前迭代为k，只保存最近的m次迭代信息，（即：从k-m~k-1），依次带入

，得到：

公式1：

                              

                                     

                                     

                                     

                                     

 

                                     

算法第二步表明了上面推导的最终目的：找到第k次迭代的可行方向，满足：

                               

为了求可行方向p，有下面的:

  two-loop recursion算法

---

                                 

                                 

                                         

                                         

                                  

                                  

                                  

                                        

                                        

                                   

                                  

---

该算法的正确性推导：

1、令:    

，递归带入q：

                               

                                    

                                    

                                    

                                    

                                    

                                    

相应的：

                               

                                    

2、令：

                               

                                    

                                    

于是:

                               

                                    

                                    

                                    

                                    

           

                                     

                                     

     

                                     

                                     

                                     

这个two-loop recursion算法的结果和公式1*初始梯度的形式完全一样，这么做的好处是：

1、只需要存储

、

（i=1~m）；

2、计算可行方向的时间复杂度从O(n*n)降低到了O(n*m)，当m远小于n时为线性复杂度。

总结L-BFGS算法的步骤如下：

      Step1:       选初始点

，允许误差

，存储最近迭代次数m（一般取6）；

      Step2:     

；

      Step3:       如果

则返回最优解

，否则转Step4；

      Step4:       计算本次迭代的可行方向：

；

      Step5:       计算步长

，对下面式子进行一维搜索：

                        

；

      Step6:       更新权重x：

                        

；     

      Step7:      if k > m

                             只保留最近m次的向量对，需要删除(

)；

      Step8:       计算并保存：

                       

                       

；

      Step9:       用two-loop recursion算法求得：

                        

；

      k=k+1，转Step3。

需要注意的地方，每次迭代都需要一个

，实践当中被证明比较有效的取法为：

                         

                         

 

三、OWL-QN算法

1、问题描述

对于类似于Logistic Regression这样的Log-Linear模型，一般可以归结为最小化下面这个问题：

                        

其中，第一项为loss function，用来衡量当训练出现偏差时的损失，可以是任意可微凸函数（如果是非凸函数该算法只保证找到局部最优解），后者为regularization term，用来对模型空间进行限制，从而得到一个更“简单”的模型。

        根据对模型参数所服从的概率分布的假设的不同，regularization term一般有：L2-norm（模型参数服从Gaussian分布）；L1-norm（模型参数服从Laplace分布）；以及其他分布或组合形式。

L2-norm的形式类似于：

                       

L1-norm的形式类似于：

                       

L1-norm和L2-norm之间的一个最大区别在于前者可以产生稀疏解，这使它同时具有了特征选择的能力，此外，稀疏的特征权重更具有解释意义。

对于损失函数的选取就不在赘述，看两幅图：

图1 - 红色为Laplace Prior，黑色为Gaussian Prior 

 

图2 直观解释稀疏性的产生

 

        对LR模型来说损失函数选取凸函数，那么L2-norm的形式也是的凸函数，根据最优化理论，最优解满足KKT条件，即有：

，但是L1-norm的regularization term显然不可微，怎么办呢？

2、Orthant-Wise Limited-memory Quasi-Newton

        OWL-QN主要是针对L1-norm不可微提出的，它是基于这样一个事实：任意给定一个维度象限，L1-norm 都是可微的，因为此时它是一个线性函数：

图3 任意给定一个象限后的L1-norm

OWL-QN中使用了次梯度决定搜索方向，凸函数不一定是光滑而处处可导的，但是它又符合类似梯度下降的性质，在多元函数中把这种梯度叫做次梯度，见维基百科http://en.wikipedia.org/wiki/Subderivative

举个例子：

图4 次导数

对于定义域中的任何x₀，我们总可以作出一条直线，它通过点(x₀, f(x₀))，并且要么接触f的图像，要么在它的下方。这条直线的斜率称为函数的次导数，推广到多元函数就叫做次梯度。

次导数及次微分：

凸函数f:I→R在点x₀的次导数，是实数c使得：

                       

对于所有I内的x。可以证明，在点x₀的次导数的集合是一个非空闭区间[a, b]，其中a和b是单侧极限  

             

             

它们一定存在，且满足a ≤ b。所有次导数的集合[a, b]称为函数f在x₀的次微分。

OWL-QN和传统L-BFGS的不同之处在于：

1)、利用次梯度的概念推广了梯度

       定义了一个符合上述原则的虚梯度，求一维搜索的可行方向时用虚梯度来代替L-BFGS中的梯度：

                     

                       

                      

怎么理解这个虚梯度呢？见下图：

对于非光滑凸函数，那么有这么几种情况：

图5 

 

图6 

 

图7  otherwise

2)、一维搜索要求不跨越象限

       要求更新前权重与更新后权重同方向：

图8  OWL-QN的一次迭代

总结OWL-QN的一次迭代过程：

–Find vector of steepest descent

–Choose sectant

–Find L-BFGS quadratic approximation

–Jump to minimum

–Project back onto sectant

–Update Hessian approximation using gradient of loss alone

最后OWL-QN算法框架如下：

                                

 

      与L-BFGS相比，第一步用虚梯度代替梯度，第二、三步要求一维搜索不跨象限，也就是迭代前的点与迭代后的点处于同一象限，第四步要求估计Hessian矩阵时依然使用loss function的梯度（因为L1-norm的存在与否不影响Hessian矩阵的估计）。

四、参考资料

1、Galen Andrew and Jianfeng Gao. 2007. 《Scalable training of L1-regularized log-linear models》. In Proceedings of ICML, pages 33–40.

2、http://freemind.pluskid.org/machine-learning/sparsity-and-some-basics-of-l1-regularization/#d20da8b6b2900b1772cb16581253a77032cec97e

3、http://research.microsoft.com/en-us/downloads/b1eb1016-1738-4bd5-83a9-370c9d498a03/default.aspx