已知函数 ，若存在实数 ，使得 ，求 的取值范围．
正确答案是 ．
解 分离变量法
问题即
注意到函数 的定义域为 ，且函数 的导函数为
于是绘制草图，如图．需要注意的是代表定义域的四个区间端点处的函数值的估计．五个要点任何一点没有注意到都容易引起错误．
进而不难得到 的取值范围是 ．
半分离变量法
问题即
不难得到 的取值范围是 ．
不分离变量法
函数 的导函数
当 时， 单调递减．考虑到 时， ，而当 时， ．于是符合题意；
当 时， 单调递减．考虑到 时， ，而当 时， ．于是不符合题意；
当 时，函数 有极大值，同时也是最大值，为 ，根据题意，最大值不小于 ，于是可以解得 ．
综上， 的取值范围是 ．
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