三射线定理 如图， 、 、 
分别是从 出发的三条射线， 、 、 分别为 、 、 ，二面角 （记其大小为 ）满足：
三射线定理描述了异面共边的两个角的另外两边构成的角（空间斜角）与这两个角形成的二面角（空间正角）之间的数量关系，因此往往用来求二面角的大小或者空间斜角的大小．三射线定理中的基本图形又称为三面角．
证明 如图，过射线 上一点 作垂直于 的平面，射线 、 分别与该平面相交于 、 两点．
方法一 利用空间向量
根据已知，有
方法二 利用余弦定理
在三角形 和三角形 中分别应用余弦定理，有
三射线定理的记忆 可以借助两角差的余弦公式记忆，当 时，三射线定理退化为两角和与差的余弦公式．当 时，三射线定理变成注明的三余弦定理：
接下来通过两道例题说明该定理在空间求角时的作用．
例1 （知斜求正）如图，在直角三角形 中， 为直角， ， ， 、 分别是 、 上的点，且 ， ，将 沿 折起到 的位置，使 ．求平面 与平面 所成锐角的余弦值．
解 这是一道由2012年高考北京卷理科数学第16题改编的习题．
如图，在底面 里分别延长 和 ，交于 （实际上就是在未折叠的三角形 还原在直观图中），于是所求的锐角就是二面角 的大小．
我们可以利用三面角 中解决问题．令 ， ， ， ，而
事实上，取 的中点 ，则 即为二面角 的平面角．
例2（知正求斜）如图，在长方形 中， ， ， 为 中点， 为线段 （端点除外）上一动点．现将 沿 折起，使平面 与平面 垂直．在平面 内过点 作 ， 为垂足．设 ，则 的取值范围是_______．
解 这是2009年高考浙江卷理科数学第17题．
我们可以利用三面角 解决问题．令 ， ， ，且 ，于是可得
接下来给出两道练习题．
练习1、如图， 是半径为 的球的球心，点 、 、 在球面上， 、 、 两两垂直， 、 分别是大圆弧 与 的中点，则点 、 在该球面上的球面距离是_______．
练习2、如图，一个正四面体和一个正四棱锥的所有棱长均为 ，将正四面体与正四棱锥组合起来，使得正四面体的其中一个面与正四棱锥的一个侧面重合．问得到的多面体有多少个面？
参考答案
练习1、
练习2、组合体为三棱柱，有 个面．
更多的内容可以参考：
《每日一题[46] 三射线定理》
《每日一题[154] 折叠中的二面角》
《每日一题[202] 又见三射线》
《每日一题[255] 代表平面—出击！》
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