2010年北京市西城区一模理科数学第8题(选择压轴题):
如图,平面 与平面 垂直,直线 为两个平面的交线. 、 是平面 内不同的两点, 、 是平面 内不同的两点,且 , 、 分别是线段 、 的中点,下列判断正确的是( )
A.当 时, 、 两点不可能重合
B. 、 两点可能重合,但此时直线 与直线 不可能相交
C.当 与 相交,直线 平行于 时,直线 可以与 相交
D.当 、 是异面直线时, 可能与 平行
正确答案是 B.
在正式解决这个问题之前,我们先介绍立体几何中非常重要的透视引理(这是我自己的命名):
三个平面两两相交,则三条交线或者互相平行,或者交于一点.
引理的证明是非常简单的,甚至不需要画图就可以直接证明:
设三个平面分别为 、 、 ,且 , , .
由于直线 与直线 共面,于是 与 或者平行,或者相交,讨论如下.
情形一 时
此时
于是同在平面 内的直线 与直线 没有公共点,因此 .根据平行公理,有
即三条交线互相平行.
情形二 时
此时
于是
即 ,从而
即三条交线交于一点.
综上,引理得证.
回到原问题,依次考虑四个选项.
选项 A,如图1,取与 平行的平面,与 和 分别相交,在两条交线上取一条线段 ,然后将这条线段绕其中点 旋转,那么在旋转过程中必然可以找到长度是起始长度 倍的位置,即线段 .因此选项 A 错误.
图1 选项A的证伪
选项 B,由对选项 A 的分析可知, 、 可以重合,如图2,若 与 重合,那么 与 互相平分,因此 为平行四边形.对平行四边形所在平面与 、 应用引理即得
因此选项 B 正确.
图2 选项B的证明
选项 C,若 与 相交,那么它们构成一个平面,对该平面与 、 应用引理即得
因此选项 C 错误.
选项 D,如图3,当 与 平行时,将线段 沿向量 平移到 ,则根据对选项 B 的分析,有
又
于是在平面 内,过 的平行线 与 重合,于是 在平面 内,类似的, 也在平面 内,因此 与 共面.
图3 选项D的证伪
注一 条件“平面 与平面 垂直”是多余的.
注二 事实上,立体几何作图时是否遵从透视引理直接影响立体感,如图.
不遵从透视引理会影响立体感
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