高中数学：三角问题的解题方法

对待三角问题，常规思路是运用三角知识及公式进行解析。其实，还有以下方法：

一、平几化方法

在平面图形的直观导引下解决三角问题。

例1、已知△ABC的三个内角适合sin²A=sinB(sinB+sinC)，求证：∠A=2∠B。

证明：如图1，联想平几知识中的切割线定理求解。延长CA到D，使AD=AB=c，

则CD=b+c。

由于sin²A=sinB(sinB+sinC)，

所以a²=b(b+c)，

即BC²=AC·CD，

所以BC切过A、B、D的圆于点B，

所以∠ABC=∠ADB。

因为AB=AD，

所以∠ABD=∠ADB，

所以∠CAB=∠ABD+∠ADB=2∠ABC，得证。

 

二、对称化方法

利用互余三角函数间的特殊关系，以问题结构特征为出发点，通过构造“相似”结构式子，建立对称关系解题。

例2、求cos²10°+cos²50°-sin40°sin80°的值。

解：设x=cos²10°+cos²50°-sin40°sin80°，

y=sin²10°+sin²50°-cos40°cos80°，

则x+y=2-cos40°；

。

联立解得

，即为所求结果。

三、线圆化方法

从抽象的数学式子里提炼出线圆关系，使问题及字母讨论在直观的几何显示出来。

例3、设方程sin2x-sin²x=2cos2x+m有实数解，试求m的取值范围。

解：原方程变形为：

3cos2x-2sin2x+2m+1=0。

点（cos2x，sin2x）在直线3x-2y+2m+1=0上，而点又在单位圆x²+y²=1上，所以这个点是直线与圆的交点。原方程有实数解，就是直线与圆有交点，所以根据圆心到直线的距离不大于半径关系得：

。

整理得m²+m-3≤0，

解得

。

四. 轨迹化方法

依题意构点挖掘点的轨迹，利用解析几何辅助问题获解。

例4、设a、b＞0，且变量θ满足不等式组

，求sinθ的最大值。

解设x=cosθ，y=sinθ，则不等式组等价于

原不等式呈现出鲜明的几何意义：动点（x，y）的运动区域是单位圆与二直线所围成的阴影区域。由此得sinθ的最大值就是阴影区域中的最高点的纵坐标，即（sinθ）_max=y_M=

五、曲线化方法

抓住三角问题的结构特征，依托曲线方程，巧妙地建构圆锥曲线模型，使问题在曲线性质的帮助下求解。

例5、若α、β为锐角，且

，求证α+β=

。

解：构造A（cos²α，sin²α），B（sin²β，cos²β）两点，则A、B两点均在椭圆

上。根据圆锥曲线的切线知识知，经过点B的切线方程为x+y=1。显然点A的坐标适合切线方程，所以点A也是切点，从而知A、B两点为同一点。

即：cos²α=sin²β，sin²α=cos²β，

所以cosα=sinβ=cos(

)。

由题设条件α、β为锐角，不难得α+β=

。