高中数学 | 利用均值不等式求函数的值域

是一个重要的基本不等式，可以求函数的值域。在应用该不等式时，务必注意其条件：一是正数条件，即a、b都是正数；二是定值条件，即和是定值或积是定值；三是相等条件，即a＝b时取等号，简称“一正、二定、三相等”。当条件不具备时，需要进行适当的转化，再求解。

一、不具备“正值”条件时，需将其转化为正值

例1、求函数

的值域。

因

不一定是正值，故需先将其转化为正值。

解析：当

时，

，当

时取等号。

当

时，

，当

时取等号。

则函数的值域为

例2、已知

，求函数

的值域。

解析：由题意知，

因此，

，当且仅当

时，即

时，等号成立。

∴函数

的值域为

二、不具备“定值”条件时，需将其构造成定值条件

在利用“均值不等式”求值域时，若不具备“定值”条件，需将其构造成定值，并巧妙用“定值”这个条件对所求式子进行分拆、组合、添加系数等使之变成可用均值不等式的形式。

例3、已知

，求函数

的值域。

因

的积不是定值，故需先将其构造成定值。

解析：

，当且仅当

时，即

时，等号成立。

∴函数

的值域为

三、不具备“相等”条件时，需进行适当变形或利用函数单调性求值域

例4、已知

，求函数

的值域。

若直接利用均值不等式，则有

，当

时，等号成立，而

，所以等号不成立。

解析：∵

在

上为减函数

∴函数

在

上为减函数

∴函数

在

上的最小值

，此时

∴函数

的值域为

例5、已知

，求函数

的值域。

由题意可知

均为正数，因

的和不是定值，故需将

进行适当的变形，构造定值。

解析：

，当且仅当

，即

时，等号成立。

∴函数

的值域为