是一个重要的基本不等式,可以求函数的值域。在应用该不等式时,务必注意其条件:一是正数条件,即a、b都是正数;二是定值条件,即和是定值或积是定值;三是相等条件,即a=b时取等号,简称“一正、二定、三相等”。当条件不具备时,需要进行适当的转化,再求解。
一、不具备“正值”条件时,需将其转化为正值
例1、求函数
因
解析:当
当
则函数的值域为
例2、已知
解析:由题意知,
因此,
∴函数
二、不具备“定值”条件时,需将其构造成定值条件
在利用“均值不等式”求值域时,若不具备“定值”条件,需将其构造成定值,并巧妙用“定值”这个条件对所求式子进行分拆、组合、添加系数等使之变成可用均值不等式的形式。
例3、已知
因
解析:
∴函数
三、不具备“相等”条件时,需进行适当变形或利用函数单调性求值域
例4、已知
若直接利用均值不等式,则有
解析:∵
∴函数
∴函数
∴函数
例5、已知
由题意可知
解析:
∴函数
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