1、幂函数的概念
一般地，函数
叫做幂函数，其中
是自变量，
是常数；其定义域是使
有意义的
值的集合。
例1、已知幂函数
，且当
时
为减函数。求幂函数
的解析式。
分析：正确理解幂函数的概念、幂函数的图象与性质。求幂函数的解析式，一般用待定系数法，弄明白幂函数的定义是解题的关键。
解答：由于
为幂函数，
所以
，解得
，或
。
当
时，
，
在
上为减函数；
当
时，
，
在
上为常函数，不合题意，舍去。
故所求幂函数
的解析式为
。
2、幂函数的图象和性质
图象：
性质：
定义域
值域
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
单调性
上增
上减，
上增
上增
上增
，
上分别减
定点
，
（1）所有的幂函数在
上都有定义，并且图象都过点
；
（2）如果
，则幂函数的图象过点
和
，并且在区间
上是增函数；
（3）如果
，则幂函数的图象过点
，并在区间
上是减函数。在第一象限内，当
从
趋向于原点时，图象在
轴右方无限地逼近
轴，当
趋于
时，图象在
轴上方无限地逼近
轴；
（4）当
为奇数时，幂函数为奇函数；当
为偶数时，幂函数为偶函数。
例2、比较
，
，
的大小。
分析：先利用幂函数
的增减性比较
与
的大小，再根据幂函数的图象比较
与
的大小。
解答：
而
在
上单调递增，且
，
。故
。
例3、若函数
在区间
上是递减函数，求实数m的取值范围。
分析：本题考查简单幂函数的性质以及函数图象的平移问题。
函数
是一个比较常用的幂函数，它也叫做反比例函数，其定义域是
，是一个奇函数，对称中心为（0，0），在
和
上都是递减函数。一般地，形如
的函数都可以通过对
的图象进行变换而得到，所以这些函数的性质都可以借助
的性质来得到。
解答：由于
，所以函数
的图象是由幂函数
的图象先向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到的，所以其图象如图所示。
其单调递减区间是
和
，而函数
在区间
上是递减函数，所以应有
。
例4、若点
在幂函数
的图象上，点
在幂函数
的图象上，定义
，试求函数
的最大值及其单调区间。
分析：首先根据幂函数的定义求出
，然后在同一坐标系下画出函数
和
的图象，得出
的函数图象，最后根据图象求出最大值和单调区间。
解答：设
，因为点
在
的图象上，所以
，所以
，即
；
又设
，点
在
的图象上，所以
，所以
，即
。
在同一坐标系下画出函数
和
的图象，如图所示，则有
。
根据图象可知函数
的最大值等于
，其单调递增区间是（
，－1）和（0，1）；单调递减区间是
和
。
例5、已知幂函数
是偶函数，且在
上是减函数，求函数
的解析式，并讨论
的奇偶性。
分析：先根据单调性求出m的取值范围，再由奇偶性进一步确定m的取值。讨论
的奇偶性时要注意对字母的讨论。
解答：由
在
上是减函数得
，
。∵
，
0，1。
又因为
是偶函数，∴只有当
时符合题意，故
。
于是
，
。
当
且
时，
为非奇非偶函数；
当
且
时，
为奇函数；
当
且
时，
为偶函数；
当
且
时，
为既奇又偶函数。
例6、已知幂函数
在
上是增函数，且在定义域上是偶函数。
（1）求
的值，并写出相应的函数
的解析式；
（2）对于（1）中求得的函数
，设函数
。问是否存在实数
，使得函数
在区间
上是减函数，且在区间
上是增函数？若存在，请求出
的值；若不存在，请说明理由。
分析：第一问先根据单调性求出
的取值范围，再由奇偶性进一步确定
的取值。第二问可根据复合函数单调性的规律来解。
解答：（1）∵幂函数
在
上是增函数，∴
∴
又
，∴
∵
在定义域上是偶函数，∴只有当
时符合题意，故
。
（2）由
，则
。
假设存在实数
，使得
满足题设条件。令
，则
。
∵
在
上是减函数，∴当
时，
；当
时，
。
若
在区间
上是减函数，且在区间
上是增函数，则
在
上是减函数，且在
上是增函数，此时二次函数
的对称轴方程是
即
，
∴
。
故存在实数
，使得函数
在区间
上是减函数，且在区间
上是增函数。
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