一.机械能守恒的条件
首先应明确的几个概念
1.系统：系统是指相互作用着的两个以上物体的组合。我们知道，机械能是动能和势能（包括重力势能和弹性势能）的总称，而势能总是属于系统的，不是只属于单个物体的。例如重力势能属于重物和地球组成的系统，弹性势能则属于弹性体组成的系统。有时，习惯上把机械能说成是单个物体的，这是不严谨的，而且常常导致我们对机械能题无法做出正确的分析。
2.内力和外力：首先要明确“内力”和“外力”都是指系统内的物体所受到的力。其中系统内物体间的相互作用力叫做系统的内力，系统外的物体对系统内的物体的作用力叫做系统的外力。内力中总有重力，但不一定有弹力和摩擦力。
3.机械能的转化：是指重力势能、弹性势能和动能之间的转化。内力中的重力做功时重力势能和动能相互转化；内力中的弹力做功，使弹性势能和动能相互转化。这样的功显然是不会使系统的机械能发生变化的。
4.机械能守恒：是指我们所研究的系统的机械能中的重力势能、弹性势能、动能的总和保持不变。
机械能守恒是否守恒应从功和能两个角度进行判断。
功的角度：
除内力中的重力和弹力做功外，不受其他内力或外力，若其他力所做功的代数和为零，系统的机械能守恒。
能的角度：
除内力中的重力和弹力做功外，还有其他内力或外力做功，但无法确定这些力做功之和是否为零，但系统内的物体在相互作用过程中，只有动能和势能的相互转化，无其他能量参与，且系统没有和外界发生能的转化，则系统的机械能守恒。
二.机械能守恒的表达式
机械能守恒的表达式有以下三种：
1.初状态和末状态的机械能分别为，则，也可写成：
。
2.在机械能守恒的过程中，势能的减少量为，动能的增加量为，则。同理
。
3.若系统中除地球外还有两个物体A、B，则A减少的机械能等于B增加的机械能，即。
在求解机械能守恒的问题中，要合理选择这三种表达式。
例1. 长为的细线上端固定，下端系一个质量为m的小球，将小球拉起至细线与竖直方向成θ角的位置，然后无初速释放。不计各处阻力，求小球通过最低点时的速度大小？
图1
解析：以小球为研究对象，以小球被释放时和摆到最低点为初状态和末状态，在整个运动过程中，小球受到重力和拉力的作用，而拉力始终与小球运动方向垂直，不做功，只有重力做功，因此机械能守恒。
选择小球在最低位置所在的水平面为零势能参考平面，则
初态时的机械能
末态时的机械能
根据机械能守恒定律有
即
所以
例2.一个质量的小球系于轻质弹簧的一端，且套在光滑竖立的圆环上的B点，弹簧的上端固定于环的最高点A，环的半径，弹簧的原长，劲度系数为，如图2所示。若小球从图中所示位置B点由静止开始滑到最低点C时，弹簧的弹性势能。取重力加速度，求：小球到C点时的速度的大小。（弹簧处于原长时，弹性势能为零）
图2
解析：以弹簧和小球及地球组成的系统为研究对象，小球从B滑至C的过程中，机械能守恒。由图分析可知小球在B点时弹簧的长度，弹簧处于原长状态，弹性势能为零。取C点为重力势能零点。
初态时系统的动能
重力势能
弹性势能
末态时系统的动能
重力势能
弹性势能
由机械能守恒有
即
且
代入数据得：
例3.如图3所示，粗细均匀的U形管内装有总长为4L的水。开始时阀门K闭合，左右管内水面高度差为L。打开阀门K后，左右水面刚好相平时左管液面的速度是多大？（管的内部横截面很小，摩擦阻力忽略不计）
图3
解析：由于不考虑摩擦阻力，故整个水柱的机械能守恒。从初始状态到左右管水面相平为止，相当于有长的水柱由左管移到右管，系统的重力势能减少，动能增加。该过程中，整个水柱势能的减少量等效于高的水柱降低后重力势能的减少。设水柱单位长度质量为，由有
。
三.研究对象的选取
应用机械能守恒定律，首先应先确定其研究对象。尤其在较为复杂的运动中，包含有多个物体和多个运动过程，要根据问题的方便，在不同的运动过程中，灵活选取研究对象作为系统，应用机械能守恒定律解决问题。
例4.如图4所示，小球从点A开始自由下落到B点时触到固定在地板上的竖直轻弹簧的上端点B，随之将弹簧压缩到C点后，再被弹回到B点，问：
（1）小球从A到B的过程中，小球的机械能是否守恒？
（2）小球从B到C的过程中，小球机械能是否守恒？
（3）从的过程中，小球和弹簧组成的系统的机械能是否守恒？
图4
解析：（1）小球从A到B只有重力对它做功，所以小球和地球组成的系统机械能守恒。
（2）小球从B到C的过程中，除重力外还有弹簧对小球做负功，所以小球的机械能不守恒。
（3）对小球和弹簧组成的系统（包括地球），全过程没有摩擦阻力（或介质阻力）做功，所以系统的机械能守恒。
例5.如图5所示，质量均为m的球A、B、C，用两条长为L的细线相连，置于高为h的光滑水平台上，A球刚好跨过水平面边缘，且。使三球均由静止开始运动，若A球、B球相继下落着地后均不再反弹，则C球离开台面时的速度是多大？
图5
解析：对于A、B、C三个小球组成的系统，在A球下落过程中，只有重力势能和动能之间的相互转化，因而系统的机械能守恒。设A刚落地时A、B、C三球的速度大小为，则由机械能守恒定律有：（选取地面为参考面）
即
所以
A球落地后，B、C两个球一起运动，对B、C两球组成的系统，机械能守恒，设B球刚落地时，B、C两球的速度大小为，则由机械能守恒定律有：
即
所以
B球落地后，C球由于惯性将继续匀速向台面边缘运动，故C球离开台面边缘的速度为。
四.零势能面的选择
零势能面的选择是一个技巧性问题，选择合适的零势能面，会使运算过程得到简化。如果在一个问题中涉及到多个物体组成的系统或多个运动过程，要选择统一的零势能面。
例6.一条长为L的均匀链条，放在光滑水平桌面上，链条的一半垂直于桌边，如图6所示。现由静止开始使链条自由滑落，当它全部脱离桌面时的速度是多大？
图6
解析：因桌面光滑，链条虽然受桌面的支持力，但支持力对链条不做功，在链条下滑过程中只有重力对链条做功，故链条下滑过程中机械能守恒。
设链条的总质量为m，由于链条均匀，因此对链条所研究部分可认为其重心在它的几何中心。按常规思路会选地面为零势能面，但将使问题变得繁杂。
因此选取桌面为零势能面，则初、末状态的机械能分别为：
初态：
末态：
由机械能守恒定律得：
所以链条全部脱落时的速度为：
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