高中数学 | 构造函数利用单调性解题

由函数单调性的定义容易知道：

（1）若函数

在区间I上单调递增，且

，则

；

（2）若函数

在区间I上单调递减，且

，则

；

（3）若函数

在区间I上单调，且

，则

；

根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧。许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效。下面举例说明这一思想在解题中的若干应用。

一、求值

例1  设x，y为实数，且满足

，则

_______。

解：由已知条件，可得：

故若设

，则上述条件即为：

。

又易知函数

在R上是单调增函数，所以由上式有：

，即：

。

二、解方程

例2  解方程

。

解：原方程变为：

。

设

，则原方程即为：

，又

，从而原方程即为：

。

又易知函数

在R上单调递增，所以有

，解得原方程的解为：

。

三、求最值

例3  已知点B（0，6），C（0，2），试在x轴正半轴上求一点A，使得∠BAC最大。

解：设A（a，0），则a>0，∠BAC=α，易知

。

因为

，所以

。又因为a>0所以

。

所以

，当且仅当

时

有最大值为

。

又函数

在（0，

）上是单调递增的，所以α的最大值为

。即∠BAC的最大值为

，此时A（

，0）。

四、比较大小

例4  已知a>1，且

，试比较

的大小。

解：由条件得：

。

引入函数

，则上式即为：

。

易知函数

在（0，+∞）上是增函数，所以

。

五、证明不等式

例5  设a∈R，求证：

。

证明：当

或a=1时，不等式显然成立。

当a>1时，函数

在R上是增函数，

所以

，所以

；

当

时，函数

在R上是减函数，

所以

，又

。

所以

故对一切a∈R，不等式

成立。

六、求参数范围

例6  已知关于n的不等式

对一切大于1的自然数都成立，试求实数a的取值范围。

解：设

。

因为

所以

是关于n的单调增函数且当

时，

，故而要使

对一切

，n∈N恒成立，则需且只需

，即

成立即可。

所以

，解得：

。

故所求a的取值范围为

。

例7  设函数

（a∈R，n∈N，n≥2），若当

时，

有意义，求a的取值范围。

解：要使原函数在

上有意义，应有在

时

，即

成立。

所以

，

         （*）

记

，

因为每一个

在

上都是增函数，

所以

在

上是增函数，从而它在x=1时取得最大值

所以（*）式等价于

也就是a的取值范围是

。