初中数学：一元二次方程的有理根与整数根

整系数一元二次方程有有理根的充要条件是：为一有理数的平方。而有整数根，△必为一完全平方式。这里a、b、c皆为整数，前者△是有理数的平方，而非一般认为的完全平方式。而后者△为一完全平方式只是必要条件，不是充分条件。

一、与有理根有关的问题

例1、m为有理数，问k为何值时，方程的根为有理数？

解：原方程即：

如若有有理根，则应是某一有理数的平方，可知

，从而

。

本题也可这样解：

原方程化为

如有有理根，则

得

二、与整数根有关的问题

例2、若方程

有整数根，且m、n为自然数，则m、n的值有__________个。

解：

有整数根，则

为一完全平方式，设为

，于是

即

视<1>为m的一元二次方程，它应有整数解，由

可见

（1）令

，则<1>式为

（2）若要有整数解，则

应为完全平方式。

令

，则

因为

所以有如下两种情形。

无整数解，舍去。

代入<2>式得：

所以

或

（舍去）

将

代入（*）式得：

所以

满足条件。由对称性（方程系数是对称的）知

也是所求。

（2）令

，则<1>式为

<3>若有整数解，则

应为某一完全平方式，故令

，则

因为

所以又有两种情形。

代入<3>式得：

或

（舍去）

将

代入（*）得：

所以

为所求。

代入<3>式得：

或

（舍去）

将

代入（*）式得：

，有整数解，故

为所求。

由对称性知

也为所求。

故符合题意的整数对m、n有（5，1）、（1，5）、（3，2）、（2，3）、（2，2）共5个。

三、与因式分解有关的问题

例3、m是什么整数时，

能分解成两个连续自然数的积？

解：设

（n为自然数），则

原问题即m为何值时关于n的一元二次方程<1>有正整数解，所以

应为某整数的平方，设为

。则

化为

因为m是整数，故再次利用有整数解的条件，应有

 

是某一整数的平方，也即

为一完全平方数，又设为

，于是

，即

或

因为

所以

又因

是偶数，故

与

有相同的奇偶性，故<3>式只对划线部分有解。

①

 ②

③

 ④

由①解得：

，此时<2>式为：

或

（舍去）

由②解得：

，此时<2>式为：

或

（舍去）

由③解得：

，此时<2>式为：

或

（舍去）

由④解得：

，此时<2>式为：

或

（舍去）

经检验，

均为所求值，所以

时，

能分解成两个连续的自然数的积。事实上，对

：

时，

时，

时，

时，

△是一完全平方式只是整系数一元二次方程有整数根的必要条件，倘若将它视为充要条件则会出现错误。

例4、已知方程

（a是非负整数）至少有一个整数根，那么

____________。

如若认为

是完全平方式，从而原方程至少有一整数根，那就大错特错了。实际上由方程解出

。故当

或

或

时均不可能有整数解。