高中数学：二次曲线中的齐次式的妙用

途径1： 一次方程二次化

通过乘积，将两直线方程合成二次式，作为新曲线参与解题。

例1、直线

与双曲线

及其渐近线交于A、B、C、D四点（如图1），求证|AC|=|BD|。

证明：将两渐近线方程合成二次式

即

联立方程组，得

由于（1）、（2）消去y，所得二次方程仅常数项不同，因此必有

亦即AB、CD中点重合

由平面几何知识知|AC|=|BD|

例2、已知

：

，试问：当且仅当a,b满足什么条件时，对

上任一点P，均存在以P为顶点，与

外切、与

内接的平行四边形？并证明你的结论。

解析：过P点作

的一条直径PR（过椭圆中心的线段称为直径），作直径QS⊥PR，显然PQRS为菱形。（想一想，为什么？）

设PS方程为

（此为直线的法线式方程，其中

为PS垂线的倾角，p为O到PS距离）

则直线OP、OS的方程可“合成”为

即

（可以证明此曲线方程是双曲线型过原点，且过P、S，故即为直线OP与OS两直线方程的“合成”）

变形为

由OP⊥OS可得

所以

而菱形PQRS与

相切的充要条件为p=1

即

。

途径2：常数字母化

将直线方程变换为

的形式进行代换，消去常数项，巧构齐次方程。

例3、已知直线

与二次曲线

＋F=0，相交于M、N两点，试求直线OM、ON垂直的充要条件。

解析：由

得

代入二次曲线方程得x,y的齐次方程

方程是x,y的齐次方程，因此，（*）表示过原点的两直线；

又M、N坐标满足方程（*），

因此，（*）就是OM、ON的方程。

（*）可改写成

（其中G是常数不必算出）

则OM⊥ON的充要条件是

即

例4、已知圆C：

，问是否存在斜率为1的直线l，使l被圆C截得弦AB，以AB为直径的圆经过原点，若存在，写出直线l的方程；若不存在，说明理由。

解析：设l的方程：

，则

代入圆的方程

，得

整理得

由于

，可得

由OA⊥OB，则