如果学会了这些招数，你会不会变成数学学霸呢？

如果学会了这些招数，你会不会变成数学学霸？

——从求绝对值的最小值谈数学规律的发现(作者：许兴华)

1.问题的提出

2016年8月30日公众号“许兴华数学”发的文章《高一新生数学综合检测题》的第16题如下(我们作为本文的例7 )，当时文章发表时，此题由于笔者没有给出详解，后来就有同学发来信息，问：“老师，此题怎么解呢？怎么一点思路都没有呀？”下面，我们就一起来，慢慢研究这种题的解题规律。

【例7】设x是自然数且1≤x≤22，则y=|x-1|+|x-2|+|x-3|+···+|x-21|+|x-22|的最小值是多少？

既然22个绝对值看起来实在是太难了，我们好像束手无策，那么我们就从最简单的例子下手。

2.问题的探索与研究

【例1】求y=f(x)=|x-1|的最小值.

【分析】其实，这题目非常简单，任何同学都知道最小值是0了！

但为了让同学们看清问题的本质与规律，我们下面一律用“图像法”来研究这种题型的一般规律。

由绝对值的定义知,我们只要分两种情况:(i)x-1≥0和(ii)x-1<>

好！最简单的问题解决了以后，我们来增加一个绝对值：

【例2】求y=f(x)=|x-1|+|x-2|的最小值.

【分析】与【例1】类似地，由绝对值的定义知,如果先考虑每个绝对值等于0，那么，数轴上的两个点x=1,x=2将数轴分为三个部分，如下图

于是，我们只要按上图中分三种情况:(i)，(ii)和(iii)去掉绝对值符号就可以得到分段函数的表达式，我们也画出它的图像。

太好了！两个绝对值的问题解决了以后，我们再来增加一个绝对值：

【例3】求y=f(x)=|x-1|+|x-2|+|x-3|的最小值.

【分析】与【例2】类似地，由绝对值的定义知,如果先考虑每个绝对值等于0，那么，数轴上的3个点x=1,x=2,x=3将数轴分为4个部分，如下图

于是，我们只要按上图中分4种情况:(i)，(ii)，(iii)和(iv)去掉绝对值符号就可以得到分段函数的表达式，我们也画出它的图像。

太好了！3个绝对值的问题解决了以后，我们继续来增加一个绝对值：

【例4】求y=f(x)=|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|的最小值.

【分析】与【例3】类似地，由绝对值的定义知,如果先考虑每个绝对值等于0，那么，数轴上的4个点x=1,x=2,x=3，x=4将数轴分为5个部分，如图

大家来吧！别怕麻烦！我们继续来增加一个绝对值：

【例5】求y=f(x)=|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|的最小值.

【分析】与【例4】类似地，由绝对值的定义知,如果先考虑每个绝对值等于0，那么，数轴上的5个点x=1,x=2,x=3，x=4,x=5将数轴分为6个部分，如图

3.问题的一般性结论

原来，这种题型的求解，其一般规律是这样的：

4.一般性结论的简单应用

这样，我们就非常容易解出前面所说的例7了：

【例7】设x是自然数且1≤x≤22，则y=|x-1|+|x-2|+|x-3|+···+|x-21|+|x-22|的最小值是多少？

【分析】由于本题中x是自然数，所以f(x)的最小值是f(11)=f(12)

=10+9+8+7+...+2+1+0+1+2+3+...+10+11=121.

【例9】求函数y=3|x-3|+2|x-2|+|x-1|的最小值.

【答案为4，过程略】

最后，我们给出两个“挑战极限”的高难度练习题，其中第2题是由清华北大2011的“自主招生”数学试题改编而成的哦（原题难度更大！笔者改编后稍容易一些）！

亲爱的同学们，好好总结一下：从本文中你们学到什么重要的数学思想方法呢？如果学会了许老师上面的这种招数，你会不会变成数学学霸呢？

【注】本文选自微信公众号“许兴华数学”。

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