中考数学“特殊三角形的存在性问题”题型解析

二次函数与特殊三角形的存在性问题主要分为两类：

一类是静态的特殊三角形的存在性问题；一类是动态的特殊三角形的存在性问题 .

静态的特殊三角形的存在性问题难度相对较小，

可根据抛物线的对称性以及三角形的特点为切入点来解决；

动态的特殊三角形的存在性问题难度相对较大，

解决此类问题的关键是根据题意分析出动点在动的过程一些不变的量以及不变的关系 .

本节主要来讨论下关于动态的特殊三角形的存在性问题 .

类型一：等腰三角形存在性问题

【例题1】如图，已知抛物线 y = -1/4 x^2 - 1/2 x + 2 与 x 轴交于 A , B 两点，与 y 轴交于点 C .

（1）求点 A , B , C 的坐标；

（2）此抛物线的对称轴上是否存在点 M，使得 △ACM 是等腰三角形？

若存在请求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由 .

【分析】

（1）分别令 y = 0 , x = 0 , 即可解决问题；

（2）分 A、C、M 为顶点三种情形讨论，分别求解即可 .

【解析】

（1）令 y = 0 , 得 -1/4 x^2 - 1/2 x + 2 = 0 ，

∴ x^2 + 2x - 8 = 0 ,

∴ x = - 4（舍） 或 2 ，

∴ 点 A 坐标（2,0），点 B 坐标（-4,0），

令 x = 0 , 得 y = 2 ,

∴ 点 C 的坐标（0,2）.

（2）如图所示，

① 当 C 为顶点时，CM1 = CA , CM2 = CA , 作 M1N⊥OC 于 N ,

在 Rt△CM1N 中，

∴ 点 M1 坐标（-1，2+√7），点 M2 坐标（-1 , 2-√7）.

② 点 M3 为顶点时，

∵ 直线 AC 解析式为 y = -x + 2 , 线段 AC 的垂直平分线为 y = x ,

∴ 点 M3 坐标为（-1，-1）.

③ 当点 A 为顶点的等腰三角形不存在 .

综上所述 M 坐标为（-1，-1）或 （-1，2+√7）或 （-1 , 2-√7）.

类型二：直角三角形存在性问题

【例题2】如图，△OAB 的一边 OB 在 x 轴的正半轴上，点 A 的坐标为（6,8），OA = OB，

点 P 在线段 OB 上，点 Q 在 y 轴的正半轴上，OP = 2OQ，

过点 Q 作 x 轴的平行线分别交 OA，AB 于点 E , F .

（1）求直线 AB 的解析式；

（2）是否存在点 P，使 △PEF 为直角三角形？若存在，请直接写出点 P 的坐标；

若不存在，请说明理由 .

【分析】

（1）由点 A 的坐标可确定出 OA 的长，即为 OB 的长，从而可确定出 B 点坐标，

利用待定系数法即可求出直线 AB 的解析式；

（2）分三种情况来考虑：若 ∠PEF = 90°；若 ∠PFE = 90°，若 ∠EPF = 90°，

过点 E , F 分别作 x 轴垂线，垂足分别为 G、H，分别求出 t 的值，确定出满足题意 P 坐标即可 .

【解题策略】

此类问题主要考查特殊三角形的存在性问题：

首先运用特殊三角形的性质画出相应的图形，确定动点问题的位置；

其次借助特殊三角形的性质找到动点与已知点的位置关系和数量关系；

最后结合已知列出方程求解即可 .

要注意分类讨论时考虑全面所有可能的情形 .