模型1：角的8字模型
如图所示，AC、BD相交于点O，连接AD、BC．
结论：∠A＋∠D＝∠B＋∠C．
模型分析
证法一：
∵∠AOB是△AOD的外角，
∴∠A＋∠D＝∠AOB．
∵∠AOB是△BOC的外角，
∴∠B＋∠C＝∠AOB．∴∠A＋∠D＝∠B＋∠C．
证法二：
∵∠A＋∠D＋∠AOD＝180°，
∴∠A＋∠D＝180°－∠AOD．
∵∠B＋∠C＋∠BOC＝180°，
∴∠B＋∠C＝180°－∠BOC．
又∵∠AOD＝∠BOC，
∴∠A＋∠D＝∠B＋∠C．
（1）因为这个图形像数字8，所以我们往往把这个模型称为8字模型．
（2）8字模型往往在几何综合题目中推导角度时用到．
模型实例
观察下列图形，计算角度：
（1）如图①，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝________；
解法一：利用角的8字模型．如图③，连接CD．∵∠BOC是△BOE的外角，
∴∠B＋∠E＝∠BOC．∵∠BOC是△COD的外角，∴∠1＋∠2＝∠BOC．
∴∠B＋∠E＝∠1＋∠2．（角的8字模型），∴∠A＋∠B＋∠ACE＋∠ADB＋∠E
＝∠A＋∠ACE＋∠ADB＋∠1＋∠2＝∠A＋∠ACD＋∠ADC＝180°．
解法二：如图④，利用三角形外角和定理．∵∠1是△FCE的外角，∴∠1＝∠C＋∠E．
∵∠2是△GBD的外角，∴∠2＝∠B＋∠D．
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝∠A＋∠1＋∠2＝180°．
（2）如图②，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝________．
（2）解法一：
如图⑤，利用角的8字模型．
∵∠AOP是△AOB的外角，∴∠A＋∠B＝∠AOP．
∵∠AOP是△OPQ的外角，∴∠1＋∠3＝∠AOP．
∴∠A＋∠B＝∠1＋∠3．①（角的8字模型），
同理可证：∠C＋∠D＝∠1＋∠2．② ，∠E＋∠F＝∠2＋∠3．③
由①＋②＋③得：∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝2（∠1＋∠2＋∠3）＝360°．
解法二：利用角的8字模型．如图⑥，连接DE．
∵∠AOE是△AOB的外角，
∴∠A＋∠B＝∠AOE．
∵∠AOE是△OED的外角，
∴∠1＋∠2＝∠AOE．
∴∠A＋∠B＝∠1＋∠2．（角的8字模型）
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠ADC＋∠FEB＋∠F＝∠1＋∠2＋∠C＋∠ADC＋∠FEB＋∠F
＝360°．（四边形内角和为360°）
模型2：角的飞镖模型
如图所示，有结论：∠D＝∠A＋∠B＋∠C．
模型分析
解法一：如图①，作射线AD．
∵∠3是△ABD的外角，∴∠3＝∠B＋∠1，
∵∠4是△ACD的外角，∴∠4＝∠C＋∠2
∴∠BDC＝∠3＋∠4，∴∠BDC＝∠B＋∠1＋∠2＋∠C，
∴∠BDC＝∠BAC＋∠B＋∠C
解法二：如图②，连接BC．
∵∠2＋∠4＋∠D＝180°，∴∠D＝180°－（∠2＋∠4）
∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠A＝180°，∴∠A＋∠1＋∠3＝180°－（∠2＋∠4）
∴∠D＝∠A＋∠1＋∠3.
（1）因为这个图形像飞镖，所以我们往往把这个模型称为飞镖模型．
（2）飞镖模型在几何综合题目中推导角度时使用．
模型实例
如图，在四边形ABCD中，AM、CM分别平分∠DAB和∠DCB，AM与CM交于M，探究∠AMC与∠B、∠D间的数量关系．
解答：利用角的飞镖模型
如图所示，连接DM并延长．∵∠3是△AMD的外角，∴∠3＝∠1＋∠ADM，
∵∠4是△CMD的外角，∴∠4＝∠2＋∠CDM，∵∠AMC＝∠3＋∠4
∴∠AMC＝∠1＋∠ADM＋∠CDM＋∠2，∴∠AMC＝∠1＋∠2＋∠ADC．（角的飞镖模型）
∵AM、CM分别平分∠DAB和∠DCB，∴，，
∴，∴（四边形内角和360°），∴，∴2∠AMC＋∠B－∠ADC＝360°.
练习：
1．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= .
【答案】230°
提示：∠C+∠E+∠D=∠EOC=115º.（飞镖模型），∠A+∠B+∠F=∠BOF=115º.
∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=115º+115º=230º
2．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D= .
【答案】220°
提示：如图所示，连接BD.
∠AED=∠A+∠3+∠1，∠BFC=∠2+∠4+∠C，
∠A+∠ABF+∠C+∠CDE=∠A+∠3+∠1+∠2+∠4+∠C=∠AED+∠BFC=220º
模型3 边的“8”字模型
如图所示，AC、BD相交于点O，连接AD、BC．结论AC+BD>AD+BC．
模型分析
∵OA+OD>AD①， OB+OC>BC②，
由①+②得：OA+OD+OB+OC>BC+AD
即：AC+BD>AD+BC.
模型实例
如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O。求证：
(1) AB+BC+CD+AD>AC+BD；(2) AB+BC+CD+AD <2AC+2BD.
证明：
(1)∵AB+BC>AC①， CD+AD>AC②， AB+AD>BD③， BC+CD> BD④
由①+②+③+④得：
2 (AB+BC+CD+AD)>2(AC+BD). 即AB+BC+CD+AD >AC+BD.
(2) ∵AD<OA+OD① ，BC<OB+OC②，
由①+②得：AD+BC< OA+OD+OB+OC．
∴AD+BC<AC+BD.（边的8字模型），
同理可证：AB+CD <AC+BD.
∴AB+BC+CD+AD< 2AC+2BD.
模型4 边的飞镖模型
如图所示有结论：AB+AC> BD+CD.
模型分析
如图，延长BD交AC于点E。
∵AB+AC=AB+AE+EC，AB+AE>BE，
∴AB+A C>BE+EC.① ，
∵BE+EC=BD+DE+EC， DE+EC> CD，
∴BE+EC>BD+CD. ② ，
由①②可得：AB+AC>BD+CD.
模型实例
如图，点O为三角形内部一点．
求证：(1) 2 (AO+BO+CO)>AB+BC+AC；
(2) AB+BC+AC>AO+BO+CO.
证明：(1)∵OA+OB>AB①， OB+OC>BC②， OC+OA>AC③
由①+②+③得：2 (AO+BO+CO)>AB+BC+AC
(2)如图，延长BO交AC于点E，
∵AB+AC=AB+AE+EC， AB+AE>BE，
∴AB+AC>BE+EC. ①
∵BE+EC=BO+OE+EC， OE+EC>CO，
∴BE+EC>BO+CO，②
由①②可得：AB+AC>BO+CO.③（边的飞镖模型）
同理可得：AB+BC>OA+OC.④ ，BC+AC>OA+OB.⑤
由③+④+⑤得：2 (AB+BC+AC)>2 (AO+BO+CO).
即 AB+BC+AC>AO+BO+CO.
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