题目
如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=20,BC=15,点P从点A出发,沿AC向终点C运动,同时点Q从点C出发,沿射线CB运动,它们的速度均为每秒5个单位长度,点P到达终点时,P、Q同时停止运动。当点P不与点A,C重合时,过点P作PN⊥AB于点N,连结PQ,以PN、PQ为边作平行四边形PQMN,设平行四边形PQMN与△ABC重叠部分的面积为S,点P的运动时间为t秒。
(1)①AB的长为; ②PN的长用含t的代数式表示为.
(2)当平行四边形PQMN为矩形时,求t的值;
(3)当平行四边形PQMN与△ABC重叠部分图形为四边形时,求S与t的函数关系式;
(4)当过点P且平行于BC的直线经过平行四边形PQMN一边的中点时,直接写出t的值。
解析:
①典型的勾股数3k,4k,5k,由勾股定理求出AB=25;
②△APN的三边之比为3:4:5,于是AP=5t,PN=3t,AN=4t;不仅解决本小题,同时也为后续解题作好准备。不妨把这些准备工作都一并做好,PC=20-5t,CQ=5t,BQ=15-5t。
解读平行四边形PQMN为矩形的意义,PN⊥AB,一旦它是矩形,则PQ⊥PN,即PQ∥AB,如下图:
因此对于△CPQ来讲,它与△ABC相似,因此它的三边之比也为3:4:5,因此在前面准备工作中找到PC和CQ,列方程为(20-5t):5t=4:3,解得t=12/7;
随着点P向终点C接近,重叠部分的面积不断发生变化,可在草稿纸上多作几次图,从而直观了解有几种情况,以弥补想像力,如下图:
总共有三种变化,当点M到达AB之前,是平行四边形,点M到达AB后是梯形,点Q到达点B后,是三角形。我们需要求的,是前两种。
其实在上一小题中,我们已经知道了PQ∥AB时,t=12/7,因此第一种形状的范围是0<t≤12/7,如下图:
图中边长比为3:4:5的△BQD中,BQ=15-5t,于是分别求得DQ=12-4t,BD=9-3t,再加上AN已求,所以DN=25-(9-3t)-4t=16-t,平行四边形面积为PN×DN,S=3t(16-t)=-3t²+48t
(0<t≤12/7);
第二种形状的范围是12/7<t≤3,如下图:
图中QE和上一种情形的QD相同,QE=12-4t,而EN和上一种情形的DN相同,EN=16-t,利用梯形面积公式,S=1/2×(PN+QE)×EN,得S=1/2(3t+12-4t)(16-t)=1/2t²-14t+96,(12/7<t≤3);
(4)利用前一小题所作的草稿图,可以尝试过点P作BC的平行线,有两种情况,经过MN中点或QM中点,不可能经过PN中点,而经过PQ中点时,P与C重合,不符合题意。
第一种情况,经过MN中点,如下图:
过MN中点E作EH⊥AB,这样构造出一个新的三边比为3:4:5的Rt△EGH,其中EH=1/2DM,而DM=12-4t-37=12-7t,因此EH=6-7t/2,同样Rt△PNG也是三边比为3:4:5的三角形,所以NG=9t/4,而NH=1/2DN=8-t/2,所以得到GH=8-t/2-9t/4=8-11t/2,现在可以列方程为(8-11t/2):(6-7t/2)=3:4,解得t=100/43;
第二种情况,经过QM中点F,如下图:
延长MQ、AB,相交于点H,这样构造出两个新的三边比为3:4:5的Rt△FGH和Rt△BQH,BQ=5t-15,于是QH=4t-12,BH=3t-9,而FQ=1/2QM=3t/2,所以FH=3t/2+4t-12=11t/2-12,同时GH=AH-AG=25+3t-9-25t/4=16-13t/4,于是列方程为(16-13t/4):(11t/2-12)=3:4,解得t=200/59。
一个三边比为3:4:5的直角三角形,便可打通全场,相比之下,相似和三角函数用起来就麻烦多了。这也从另外一个角度说明,基本图形的使用对于减轻解题负担有多么重要。如何快速准确地找到几何题中的基本图形,是需要平时不辍练习与思考的,很多学生做到了前者,往往忽视了后者,事实证明,不进行思考的解题,是白费时间。
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