典型例题分析1:
探究:如图,分别以△ABC的两边AB和AC为边向外作正方形ANMB和正方形ACDE,NC、BE交于点P.
求证:∠ANC=∠ABE.
应用:Q是线段BC的中点,若BC=6,则PQ= .
典型例题分析2:
如图,在正方形ABCD中,E为直线AB上的动点(不与A,B重合),作射线DE并绕点D逆时针旋转45°,交直线BC边于点F,连结EF.
探究:当点E在边AB上,求证:EF=AE+CF.
应用:(1)当点E在边AB上,且AD=2时,则△BEF的周长是 .
(2)当点E不在边AB上时,EF,AE,CF三者的数量关系是 .
把△DAE绕点D逆时针旋转90°至△DCG,
可使AD与DC重合,连接DG,
由旋转得:DE=DG,∠EDG=90°,AE=CG,
∵∠EDF=45°,
∴∠GDF=90°﹣45°=45°,
∴∠EDF=∠GDF,
∵DF=DF,
∴△EDF≌△GDF,
∴EF=GF,
∴EF=CG﹣CF=AE﹣CF;
综上所述,当点E不在边AB上时,EF,AE,CF三者的数量关系是:
EF=CF﹣AE或EF=AE﹣CF;
故答案为:EF=CF﹣AE或EF=AE﹣CF.
考点分析:
四边形综合题.
题干分析:
探究:作辅助线,构建全等三角形,证明△DAG≌△DCF(SAS),得∠1=∠3,DG=DF,再证明△GDE≌△FDE(SAS),根据EG的长可得结论;
应用:
(1)利用探究的结论计算三角形周长为4;
(2)分两种情况:①点E在BA的延长线上时,如图2,EF=CF﹣AE,②当点E在AB的延长线上时,如图3,
EF=AE﹣CF,两种情况都是作辅助线,构建全等三角形,证明两三角形全等得线段相等,根据线段的和与差得出结论.
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