静水｜写给准大一同学们的线性代数入门（二）

这一讲主要关于变换的复合与二阶矩阵的乘法

---

第二讲 变换的复合与二阶矩阵的乘法

（一）复合变换与二阶矩阵乘法

1. 引入

在平面直角坐标系  内，二阶矩阵  与  分别对应着旋转变换  。

对平面内某一向量  依次作旋转变换  ，可以看出，此变换效果可以由旋转变换  达成，  仍是线性变换，其对应的二阶矩阵为：  

2. 复合变换

一般地，设  ，在直角坐标系中，它们对应的线性变换分别是： 

     

那么对于平面上的任意向量   ，依次作变换  和  ，那么有：

  这也是一个线性变换，我们称它为线性变换  与线性变换  的复合变换，记为  。从而，对于任意的平面向量  有： 由上述过程可知，  对应的二阶矩阵为：

我们称此二阶矩阵为矩阵  与矩阵  的乘积，记为  。

---

*Optional 3. 更为本质地理解矩阵乘法（选看-因为笔者其实也说不太明白）

很不幸，高中选修4-2中二阶矩阵乘法的出现，是“by-definition”的方式。

所以我决定多写一些更为本质地理解矩阵乘法的方式：

设  ；

对于上述结果，我们继续改写其形式： (左右滑动查看) 在最右端结果中，我们可以看到，最右端矩阵的分量实际上是矩阵  的列向量  在矩阵  的每一个列向量分量作用下的“线性组合”。这也启示我们，比较好地理解矩阵乘法的核心是理解“列空间的交互”。（详见下图）

实际上，在矩阵乘法中，设两个矩阵分别为：

（不迷惑作为入门学习大家，我们只给出了两个n阶矩阵相乘的情况。实际上，两个矩阵能进行乘法运算的必要条件是一个矩阵为s行m列-  ，另一个为m行n列-  ，相乘结果为一个s行n列的新矩阵-  ）对于  ，我们定义矩阵乘法获得的新矩阵中的第i行，第j列的元素（称“ij元”）是：  (左边的矩阵贡献“第i行行向量”，右边的矩阵贡献“第j列列向量”；两个向量的点积结果，就是ij元)

---

（二）矩阵乘法的性质

下面是矩阵乘法满足的性质，证明只需一些简单套定义计算，故证明从略：

1. 矩阵乘法满足结合率：  ;
2. 矩阵乘法不满足交换律：  ;（更多细节见“More Details”）
3. 矩阵乘法不满足消去律：  ;
(注：证明可使用“相同的复合变换效果对应的矩阵不同”，或直接凑出例子）
4. 矩阵乘法里的“1”：n级单位阵  。
5. 矩阵乘法满足左/右分配律：
1. 左分配律：  
2. 右分配律：  
   

---

---------More Details---------

如果大家把变换写为  ，会发现，其对应的二阶矩阵与  并不同，即  与  结果不同。

这其实告诉我们，矩阵的乘法是不满足交换律的。

这或许与我们在高中及之前所学习的“乘法”有所差别。其实有一种不太严谨但能帮助我们理解的方法：

回忆之前我们对平面上的任意向量  进行的  变换。我们把矩阵  写在左边，向量  写在右边，这约定为“对向量  进行A变换”，也就是说：A是“动作”，向量  是“对象”。

我们把这种思维推广至二阶矩阵的乘法上，那么在  中，A是“动作”，B是“对象”；而在  中，B是“动作”，A是“对象”。那么可以形象理解，动作与对象之间，是不具备交换不变性的。

同时插入一种我写文章时候突然想到的整活理解：（这大概是不合理的）

我们定义：

• 向量  是一个鸡蛋；
• 线性变换  （对应矩阵  ）是放到水里煮熟；
• 线性变换  （对应矩阵  ）是敲开鸡蛋。

这样一来，  （  ）就是把鸡蛋先煮熟再敲开，得到的是水煮蛋；

另一方面，  （  ）就是把鸡蛋先敲开再煮熟，得到的是蛋花。

所以说，矩阵的乘法不满足交换律！！！

注：特别地，矩阵乘法可能满足  =  ，此时我们称两个矩阵“可交换”。

---

写在最后的思考题：

1. 设  ,  , 证明：  .

2. 设  都是二阶矩阵，  为二阶单位阵。

证明：如果  ，则  当且仅当  .