微积分的重要性就不用多说了,用途极其广泛。在以前,明白求曲面面积,使用切割然后累加起来的思想,相关题目也会做。昨晚看了成其老师在讲解微积分,于是听了一会,发觉讲的通俗易懂,非常透彻,让我豁然开朗,这才是非常厉害的老师,在我的眼里能够将问题非常简单明了的讲解出来,才是好老师,如果老师讲课晦涩难懂,这不是学生的错,是这个老师本身就没有透彻理解或者故作高深。
所以我特地将成其老师的讲解,重新画图整理了微积分的推导过程,希望能够让所有看这篇文章的伙伴们,都能够非常轻松的掌握它,不要怕,特别简单,特别简单,特别简单。
我们知道求三角形,矩形也就是长方形正方形这些直线组成的面积,对于曲线组成的面积就求不出来了,是的,牛顿也是这样的,于是想啊,求曲线围成的面积,那就只能切割成一个一个直线围成的面积,最后将它们给加起来。对的,这个就是微积分了,积分的几何意义就是面积,代数里面是连续求和【积分符号:∫】
我们先来看下面这张图:
是不是本来是求圆面积,现在我们将它转换成了求矩形面积了,这个就是微积分的核心思想了,以直代曲,现在我们有了这个基础,进入到下一步。
速度,这个相信大家都很熟悉了,比如说开车的速度,跑步的速度,那么速度的本质是什么呢?其实啊,速度就是位移的变化率,就是我从湖南到北京,发生了位移,那么肯定是速度引起的,速度越快,很显然就移动的越多,也就很快到达目的地了。好的,知道了速度是位移的变化率,那速度的变化率是什么呢?
速度的变化率,就是加速度,跑步的时候,快到终点的时候,我们进行冲刺,那么这个速度就会变得更快了,因为速度发生变化了,这个就是加速度在起作用了。
在物理当中,我们知道它们的公式,速度=位移÷时间;加速度=速度÷时间。这里可以看到这个变化率都是在做除法,这个很关键,因为在数学几何中,这个变化率就是斜率,又因为是推导出来的,所以也叫做导数。导数就是这么来的,是不是很简单。
这里需要注意的是,平时我们说的速度一般是指平均速度,但很多时候,我们需要的是瞬时速度,也就是时刻变化的速度,比如开车的时候,肯定是需要知道每时每刻的速度是多少,这里的瞬时速度,就是接下来我们需要讨论的重点了。
接下来我们就来推导微积分的公式了,看下是怎么来的,我们来看一张位移随着时间变化的图:
这张图是对速度的推导,也就是位移÷时间,当位移非常非常小,时间非常非常小的时候,得到的就是瞬时速度,在这个坐标系中我们可以看到最终的瞬时速度就是2t,好的,接下来就是精华部分了,理解这里,对微积分就非常清楚明白了。
我们画出V=2t的图,这个函数因为是上面的函数推导出来的,所以叫做导函数,那么原来的函数就叫做原函数。
最关键的地方是弯曲红色箭头指向的那个公式,看起来是简单的变换,神奇就神奇在这里,ds=V*dt,这个在导函数里面是矩形的面积,底边长(宽)是dt,高是V,所以这里就是矩形面积,那这个ds,我们知道是原函数里面的线段,这里特别注意了,S=t²,这个S就是高,也就是一根线段的长度,所以,我们从求函数的矩形面积,就转换成了求它的原函数的两线段的差。
所以我们后期求一个函数围成的面积,只需要求它的原函数在指定定义域,做差值即可。比如说y=x²在[1,4]围成的面积,我们就只需要求其原函数x³/3在位置3和位置8的差值就可以了:4³/3-1³/3=21
到这里,我相信大家对微积分不陌生了,再来看下导数和积分的关系(互逆关系),如下图:
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