当你睡在床上,闭上眼睛或看到天花板时,头脑里浮想连篇,如果用好这个时间在美好的回忆中进入梦乡,既能复习知识又能较快进入梦乡,说不定还能做个学习上的好梦,据说爱因斯坦的相对论就是做的一个梦!
分析
本题首先是一道函数零点的问题,此时,我们就要搜索大脑函数零点都有哪些内容,然后才能具体问题具体分析;其次,小数老师提醒,函数零点是近几年高考的热点问题,同学们一定要好好的研究这种类型题,因为要考察这种题目,一般属于中等偏上的题目,但还是有迹可循的。
回顾
(1) 函数零点,对于函数y=f(x),若存在a,使得f(a)=0,则x=a称为函数y=f(x)的零点;
(2) 零点的存在定理:若函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是一条不间断的曲线,且f(a)f(b)<0,则函数y=f(x)在区间(a,b)上有零点.
注意:函数的零点存在性定理,是零点存在的充分条件,而不是必要条件,所以,一定要注意。例如:y=2-|x|在区间(-3,3)上也是连续的曲线,当x取正负3时,函数值均小于0,那就不存在零点了吗?非也。此函数在(-3,3)区间上还有2个零点。
所以,在导数大题中,如果遇到函数零点个数的问题,在使用零点的存在性定理时,还要注意函数的单调性。
(3) 零点问题的转化:可以转化为函数与x轴交点的横坐标;或者转化为对应方程的根;还可以转化为两函数的交点的横坐标。所以,如果考察函数的零点个数,只需要看此函数与x轴有几个交点,或者对应方程有几个根,或者两个函数有几个交点即可。
(4) 对于此题,直觉转化为函数f(x)与函数g(x)的交点个数,但是,这么做却不妥,原因是两个函数的图像均不好画,转化为两函数交点难度有点大,那么到底应该作何转化呢?接下来就要就这个题目好好分析了。
解析
首先研究函数g(x)的解析式
∵g(x)=b-f(2-x),
∴下面先求f(2-x),
当2-x≤2,即x≥0时,f(2-x)=2-|2-x|,但是此时还不能算完成,因为绝对值符号还在,所以,对于此时的解析式,得想办法把绝对值符号去掉,所以接下来还需分段。
当0≤x<2时,2-x>0,所以f(2-x)=2-|2-x|=2-(2-x)=x,
当x≥2时,2-x≤0,所以f(2-x)=2-|2-x|=2-[-(2-x)]=4-x;
当2-x>2,即x<0时,f(2-x)=(2-x-2)^2=x^2.
此时f(2-x)的解析式已经求出来了,接下来就是转化条件了。
若函数y=f(x)-g(x)恰有4个零点,由此条件可得y=f(x)-g(x)= f(x)- b-f(2-x)= f(x) -f(2-x)-b,此时函数恰有4个零点可以转化为方程f(x) -f(2-x)-b=0有4个根,进一步转化为方程f(x) -f(2-x)=b有4个根,再进一步转化为函数y= f(x) -f(2-x)与函数y=b有4个交点。
令h(x)= f(x) -f(2-x),通过上面可以求出h(x)的解析式,此时要注意,因为f(x) 与f(2-x)均是分段函数,所以做差时,需要找公共区间才能做差,因此对于函数f(x) 也得把绝对值符号去掉,这个同学们可以自己去,比较简单。
求出函数h(x)的解析式为,
画出图像,
找到两个抛物线的最低点(配方即可)
所以,由图可知,当b=7/4或b>2时,h(x)=b,有2个交点;
当b=2时,h(x)=b,有无数个交点;
当7/4<b<2时,h(x)=b,恰好有4交点。
所以答案选择D。
来自高中数学
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