汽车结构疲劳分析基础——平均应力修正与Haigh图

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概述

我们测试材料S-N曲线时，通常是进行正负对称加载，即载荷循环的平均应力为0，在这种情况下得到应力幅值与材料寿命的关系曲线。试验数据表明应力均值的影响不可忽略，疲劳寿命相同的前提下，不同的应力均值导致不同的应力幅值，即每个应力均值都有各自的S-N曲线。

理论上我们可以测量平均应力不为零时的S-N曲线，但因实际载荷复杂多样，覆盖各种可能的平均应力所需的试验成本和周期难以让人接受。

实际工程应用中，最常见的做法是设法进行平均应力修正，按照疲劳寿命相等的原则，将平均应力不为零时的应力幅值等效为平均应力为0的应力幅值。通过平均应力修正，就可以利用对称加载的S-N曲线来计算非对称加载时的疲劳寿命。

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应力幅值和应力比的定义

应力的每一个周期性变化称作一个应力循环。最大应力  指的是在应力循环中，两个极值中代数值较大的那一个，最小应力  指的是两个极值中代数值较小的那一个。

应力范围（也叫应力幅度）  定义为： 

平均应力  定义为：

应力幅值  定义为：

应力循环特征值（也叫应力比）   定义为：

图1展示了应力比分别为-1、-1/3和0的三种循环。其中应力比为-1的循环即常见的对称循环，其平均应力为0；应力比为0的循环叫做脉动循环，其平均应力等于应力幅值。

图1 不同应力比的应力循环

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应力比对特殊S-N曲线和疲劳极限的影响

平均应力或者应力比的改变对于材料疲劳寿命有重要影响。我们试验测得的S-N曲线通常对应的是应力比为-1的情况，叫做基本S-N曲线，应力比为-1时的疲劳极限叫做对称循环疲劳极限，用  表示。当应力比改变时，材料的疲劳极限和S-N曲线也随之发生变化，如图2。指定循环寿命下，随着应力比  提高，即平均应力   提高，许用应力幅值  下降。同样，指定的应力幅值下，随着应力比R提高，材料的疲劳寿命会下降。

总之，拉伸平均应力的存在, 即  ，对材料疲劳寿命不利；而压缩平均应力的存在，即  ，对材料疲劳寿命有利。因此在工程中经常采用喷丸、挤压和预应变等工艺处理，使零部件表面产生残余压应力以提高寿命。

有学者认为，应力比之所以能影响到疲劳寿命，是因为平均应力影响微裂纹的开闭，拉伸平均应力作用下，微裂纹处于张开状态，在循环载荷下更容易发生扩展和交联。平均切应力不会导致微裂纹的张开和闭合，按照这种理论，平均切应力不会影响材料疲劳寿命。从试验数据来看，平均切应力实际会影响材料疲劳极限和S-N曲线，但其影响程度确实明显小于平均正应力。

图2 应力比对材料S-N曲线的影响

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Goodman和Gerber修正方案

我们通常使用等寿命曲线图来表示应力幅值  和平均应力  的关系，如图3。图中横轴为平均应力，纵轴为应力幅值，同一条曲线上的各个点都能达到相同的疲劳寿命。从图3可知，各条等寿命曲线的最右端的点(即与X轴的交点)是重合的，该点坐标为  ，其中  为材料的拉伸极限。

其中寿命为10E7（即无限寿命）的等寿命曲线最值得关注，这条曲线给出了材料疲劳极限和平均应力之间的关系。

图3 等寿命曲线

在教科书中，Goodman修正和Gerber修正是两种最常见的平均应力修正方案。这两个方案用简单的公式表达了疲劳极限应力幅值  和应力均值  之间的关系。

Gerber修正方案如下式所示：   

Goodman修正方案如下式所示：

利用Goodman方案和Gerber方案得到的疲劳极限曲线如图4，为无量纲形式。

图4 不同修正平均应力方案所得到的疲劳极限曲线图

图4还列出了两种不太常用的平均应力修正方案，Bagci和Marin方案。无论哪种修正方案得到的疲劳极限曲线，当  时，材料的疲劳极限应力幅值都是对称循环疲劳极限   ；当  时，平均应力都等于拉伸极限   。

上述各种平均应力修正方案，不仅可用于无限寿命情况，也可用于有限寿命情况。对于有限寿命情况，只需将公式中的对称加载疲劳极限  换成有限寿命N对应的对称加载应力幅值   。

对于有限寿命情况，采用Goodman和Gerber等公式，根据  和基本S-N曲线，可以计算出不同平均应力  下有限寿命N所对应的应力幅值  。如果已知实际应力幅值  和实际平均应力  ，可以求得等寿命的对称加载应力幅值  ，然后就可利用基本S-N曲线计算疲劳寿命或损伤值

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疲劳极限Haigh图的构建

图4所示的表征疲劳极限应力幅值与平均应力关系的曲线图由Haigh最先提出，因此这种曲线图叫做Haigh图。Haigh图以应力幅值为横坐标，以平均应力为纵坐标，通常采用无量纲形式。Haigh图中，从原点发出的任意射线上的各点都具有相同的应力比。

我们可以使用Goodman和Gerber方案来构建Haigh图。应力比不为0时，利用Goodman方案得到的疲劳极限应力幅值要低于Gerber方案，所以Goodman方案趋于保守，更偏安全。

Goodman和Gerber方案过于简单粗暴，疲劳仿真软件在构建Haigh图时通常还要做一些修改。

以对Goodman线的修改为例。图5中的Goodman线是一条斜线，其右端延伸到了拉伸极限  ，已超出材料的屈服极限  ，必然有塑性变形发生。我们通常认为，应力循环中如果出现塑性变形就无法实现无限寿命，因此需要将无限寿命区域控制在不发生屈服的范围。

图5  Goodman线和屈服线

我们在图5中连接   和  两点，绘制一条直线，该线上任意一点都有  ，所以这条直线叫做屈服线，在屈服线的内侧才能保证应力循环中无塑性变形发生。

屈服线和Goodman线共同确定了材料的无限寿命区域，这个区域的外边缘就是Haigh曲线（疲劳极限曲线），如图6

图6 无限寿命区和Haigh曲线

我们进一步将Haigh曲线拓展至第二象限，给出平均压应力下的疲劳极限应力幅值。首先在第二象限绘制出屈服线，然后将第一象限的疲劳极限曲线按照某种向第二象限拓展，如图7。我们可以将Goodman线直接延长至第二象限，但这种做法夸大了平均压应力的有利影响，平均压应力虽然确实会提升疲劳极限应力幅值，但通常达不到这种程度。保守的做法是采用一条水平线来近似，即忽略掉压缩平均应力对疲劳极限应力幅值  的影响。

图7 Haigh曲线拓展至压缩平均应力情况

按照上述做法，我们就可以确定出覆盖平均拉应力和平均压应力情况的无限寿命区域和疲劳极限曲线，如图8。

图8 拓展至第二象限的无限寿命区域和Haigh曲线

以上介绍的是一种比较简单的Haigh曲线构建方案，还可按应力比来分多段构建Haigh曲线，分段构建所需的数据输入可以试验测得，也可依据经验公式估算。图9展示了某商业软件分段构建的Haigh图。

图9 某商业软件构建的钢材Haigh图

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小结

试验测得的S-N曲线通常对应的是应力比为-1的情况，叫做基本S-N曲线，应力比为-1时的疲劳极限叫做对称循环疲劳极限。当应力比改变时，材料的疲劳极限和S-N曲线也随之发生变化。

拉伸平均应力对材料疲劳寿命不利；而压缩平均应力对材料疲劳寿命有利。平均切应力对材料疲劳寿命也有影响，但不如平均正应力明显。

Goodman修正和Gerber修正是两种最常见的平均应力修正方案。它们用简单的公式表达了应力幅值和应力均值之间的关系，不仅可以用于无限寿命情况，也可用于有限寿命情况。

对于有限寿命的情况，采用Goodman和Gerber等公式，可以将实际应力幅值和实际平均应力转换为等寿命的对称加载应力幅值，然后就可利用基本S-N曲线进行疲劳寿命计算。

表征疲劳极限应力幅值与平均应力关系的曲线图叫做Haigh图。构建Haigh图时，通常要在Goodman方案或Gerber方案的基础上进行修改，增加屈服线的限制。Haigh图也可依据试验数据分段构建。

作者简介

王朋波，清华大学力学博士，汽车结构CAE分析专家。重庆市科协成员、《计算机辅助工程》期刊审稿人、交通运输部项目评审专家。专业领域为整车疲劳耐久/NVH/碰撞安全性能开发与仿真计算，车体结构优化与轻量化，CAE分析流程自动化等。王朋波私人微信：poplewang。