主振型的正交性

● 在同一体系中，不同的两个固有振型之间，无论对于质量矩阵[M]或是刚度矩阵[K]都具有正交性质。

● 利用这一特性，一是可以将n个自由度体系计算简化为n个单自由度体系的计算（主要应用于在任意干扰力作用下的强迫振动），二是可以检查主振型计算正确与否（判断主振型的形状特点）。

（一）主振型的第一正交性

图4-77

图4-77（a）和（b）分别表示两个自由度体系的第一主振型曲线和第二主振型曲线，及所对应的惯性力幅值。应用虚功互等定理，可得

移项后，可得

如果

，则有

（4-83）

上式就是两个主振型对质量正交的性质。

例如，在图4-77（a）、（b）中，如果质量分布和刚度均对称，则

，

，

，代入上式，得

(-1)=0

上述正交关系的一般情形可表述如下：

设体系具有n个自由度。

和

为两个不同的频率，相应的两个主振型向量分别为：

体系的质量矩阵为：

则第一正交关系为：

（4-84a）

即

（4-84b）

上式表明，具有n个自由度体系的第

主振型和第k主振型对质量正交的性质，称为第一正交性。

（二）主振型的第二正交性

将

和

代入式（4-76）得

上式两边左乘

，得

由于

（第一正交性），于是得到

（4-85）

上式表明，具有n个自由度体系的第

主振型和第k主振型，对于刚度矩阵正交的性质，称为第二正交性。

（三）振型正交的物理意义

因为

（第一正交性），所以虚功

由此，振型的正交性可理解为：体系按某一振型振动时，它的惯性力不会在其它振型上作功，也就是说，它的能量不会转移到其它振型上去，因此各主振性可单独存在。

【例4-25】试验算例4-23所求得的各个主振型之间的正交性。

解：

由例4-23已知

,　　　　　

,　　　　　　　

由式(4-84a)得

上述计算验证了各主振型之间满足正交性，说明频率和振型计算是正确的。