第8.4节 开口薄壁截面的剪心
Shear Centers of Thin-walled Opened Sections
1.
如图8.4-1所示的槽形截面梁,设z轴为横截面的对称轴,y轴过形心,所以y和z轴均为形心主轴,由上节得知,只要外力P(或剪力Q)平行于形心主轴之一(如y轴),梁就在xoy平面内发生平面弯曲,此时弯曲剪应力和剪流公式为
;
,并且已知它们的分布规律取决于截面的几何性质
,其方向沿薄壁中心线的切线方向。
图8.4-1 剪心
实践和理论计算表明:
或
组成的合力Qy,其作用线将通过某点S,此点一般不会和形心C重合(双对称截面除外),当外力通过S点时,梁只弯而不扭;如果外力P未过此点,而是通过右侧形心C或左侧其他点,则梁不仅产生弯曲变形,而且产生扭转变形(依次单击图中按钮)。这对于抗扭能力极差的开口薄壁截面梁是必须避免的,因此,确定S点在工程实际中具有重要的意义,此点被称为剪心(Shear Center)。
2.
如图8.4-2所示的任意形状开口薄壁截面,设y、z为形心主轴,为确定其剪心位置,必须求出剪应力(或剪流)的合力作用线,由于剪力是由剪应力(或剪流)组成的合力,其作用线的位置可用合力矩定理确定。
(1)在y方向剪力作用下,其剪流
的分布如图8.4-2(a)所示(单击图中按钮),若以形心C为矩心,并假设微段剪流
的力臂为
,合力Qy的力臂为ez。由合力矩定理可知:剪力Qy对矩心C的力矩等于所有微剪力
对同一点力矩的代数和,即
图8.4-2 剪心的确定
,代入公式
,得Qy 作用线的坐标位置为
(8.4-1)
s代表截面中心线的总长。
(2)在z方向剪力作用下,其剪流
的分布如图8.4-2(b)所示(单击图中按钮),设合力Qz的力臂为ey,同理可得Qz 作用线的坐标位置为
(8.4-2)
显然,剪应力(或剪流)合力Qy和Qz的作用线的交点S即为横截面的剪心或弯心(图8.4-2c)(单击图中按钮),当外力通过它时,梁只弯而不扭。公式(8.4-1)和(8.4-2)显示,剪心位置ey和ez只取决于截面几何性质,即只与横截面的形状和尺寸有关,而与外力无关。
双对称截面的剪心必与形心重合,单对称截面的剪心必位于对称轴上。
3.
例题一
试判断图示T字形截面的剪心。
(a)
(b)
(c)
图8.4-3
解:(1)画出图8.4-3的形心主轴y和z(图a)(单击图中按钮)。
(2)画出在平行于y的剪力作用下,剪流qy的分布图及其合力Qy的作用线(图b)(单击图中按钮)。
(3)画出在平行于z的剪力作用下,剪流qz的分布图及其合力Qz的作用线(图c)(单击图中按钮)。
(4)Qy和Qz作用线的交点S即为剪心位置(图a)(再次单击图中按钮)
显然,T字形截面的剪心位于对称轴上的两个交叉部分接合处,不必再用公式进行计算。
例题二
试确定图8.4-4(a)所示槽形薄壁截面的剪心位置。
解:由于z轴为对称轴,剪心必须位于对称轴上,现在只须考虑Qy的作用线位于何处。假设它位于腹板左侧ez处,根据腹板的剪流方向(与Qy同向)以及剪流的连续性,剪流分布如图8.4-4b所示(单击图中按钮);剪流在上翼缘、下翼缘以及腹板上分别组成剪力F1、F2和F3(图8.4-4c)(单击图中按钮),为确定剪心位置ez,取矩心k较为方便,由合力矩定理得知:
(a)
(b)
(c)
图8.4-4
或
(a) 而
,
读者自行计算式中的Iz,q(η)及F1,其值为
;
;
, 将各值代入式(a),得:
上式得知,剪心位于截面开口外侧的对称轴上。
思考题:
(1) 什么是剪心?为什么要确定开口薄壁截面梁的剪心?
(2) 如何确定剪心?
(3)为什么说双对称截面的剪心必与形心重合,单对称截面的剪心必位于对称轴上?
(4)你能否对表8.4-1各截面剪心位置作出解释?
表8.4-1 几种薄壁截面剪心位置
4.
习题 一
图8.4-5
图示圆环截面梁,试问它的剪心位于何处?当外力P平行于y轴且作用在距形心为2R0的E点,试求最大剪流qmax=?
在外力P作用下,圆环截面梁发生何种变形?
弯曲 扭转 弯扭组合
最大qmax发生在何处?
A B C D
习题 二
图8.4-6
确定半圆对称截面的最大剪流qmax及剪心位置ez。已知Qy及截面尺寸。
习题 三
图8.4-7
试求图示薄壁开口盒形截面的最大剪流qmax及剪心位置ez,已知Qy及截面尺寸。
中间答案:
(略去微量bt3/12)
习题 四
图8.4-8
试求图示截面a、b处的剪流,并确定截面的剪心位置。已知Qy及截面尺寸。
腹板ab上各点的剪流为零。
对 不对
最大剪流发生在何处?
a点 b点
中间答案:
(略去微量bt3/12)
习题 五
图8.4-9
试确定图示截面剪心位置。
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