自适应有限元算法设计及其收敛性和复杂性分析是当今计算数学国际前沿课题。微分方程源问题相关研究自上世纪七十年代以来，已取得非常深入系统的成果。相比之下，特征值问题的自适应有限元算法工作不多，特别是重特征值问题工作只有很少几项。
针对一类二阶椭圆算子重特征值问题，中科院数学与系统科学研究院戴小英副研究员及其合作者设计了有限元离散的后验误差估计子，给出了其上下界估计，进而得到相应的自适应有限元离散算法，并证明了该算法具有线性收敛率与最优复杂度。这是首个重特征值问题自适应有限元算法收敛率与复杂度分析工作，也是他们随后对 Kohn-Sham 方程自适应有限元算法进行相关分析的基础。
相比单特征值情形，重特征值相应自适应有限元算法分析有本质困难。由于重特征值所对应特征空间维数大于1，这样不同网格层的有限元离散解逼近的特征函数不一定相同，从而导致诸多难点：如何度量解的误差、如何证明误差的渐进压缩性等。对此，戴小英团队引入特征空间的误差来度量解的误差。而对于误差的渐进压缩性证明，他们则通过构造不可计算误差估计子，同时证明其与可计算的后验误差估计子的等价性来得到。至此，他们对二阶椭圆算子特征值问题的自适应有限元计算给出了系统的分析。
这项工作引起包括国际数学家大会45分种报告人Cancès和Durán，欧洲科学院士、国际数学家大会45分钟报告人Maday在内的同行关注与引用，引发了欧美几项后续性工作，文章被称引进了“创新性方法论”、提供了“关键步骤”、做出了“决定性贡献”。
来源：中国科学院数学与系统科学研究院
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